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Estimados amigos: para distinguir fácilmente las aplicaciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas tengo entre mis notas unos conceptos breves que me elaboré en su día, pero no estoy seguro de que sean exactos. Me gustaría que me dierais vuestra opinión y corrección, en su caso:

(se entiende que llamo x a un elemento del conjunto origen, e y a un elemento del conjunto destino)

Aplicación inyectiva: no hay 2 x distintos con la misma y.

Aplicación sobreyectiva: todo y tiene algún x.

Aplicación biyectiva: todo y tiene un sólo x.

Cualquier ayuda que me permita distinguir rápida y fácilmente estos conceptos la agradecería enormemente.

Hola.

Para distinguir muy rápido este tipo de funciones (aplicaciones)

-inyectiva: como tu has puesto
-sobreyectiva: el conjunto "llegada" no tienen ningún elemento que no esté ralacionado
-biyectica: como escribiste

realmente la única que quizas te pueda ayudar un poco es la sobre, ya que lo tenias todo correcto.

Puestoa a este tema, daré aquí una curiosidad por si a alguien no se la han explicado.

En muchas situaciones del análisis matemático se exige iniyectividad de la función, y esto no es nada más y nada menos que para poder
garantizar la existencia de inversa. Sería un poco dificil de hacer la inversa de una función si no fuera inyectiva pues ¿qué opción elijo de
las antiimágenes posibles?



Saludos
Javi

Muchas gracias Javimat por tu contestación que ha sido aclaratoria para mí.

En cuanto al comentario que haces efectivamente lo he entendido y tiene toda la lógica; lo tendré en cuenta por si alguna vez me encuentro esa exigencia de inyectividad. De todos modos, hay algo que no termino de tener claro: yo siempre he leido que para garantizar la existencia de función inversa, la función originaria tiene que ser biyectiva. Por tanto, para garantizar la existencia de inversa, ¿es suficiente la inyectividad o es necesaria también además la biyectividad de la función original?

Por último una preguntita: en las aplicaciones inyectivas, ¿se exige que todo elemento del conjunto origen esté relacionado, o puede haber elementos del conjunto origen sin relación?

Muchas gracias por adelantado.

Buenas tardes.

He mirado el teorema de la función inversa y sí que exige biyectividad en la función origen. Pero hay que tener en cuenta una cosa. Cuando hay un teorema en matemáticas, o se descubre algo, se le intenta pedir lo máximo para que todo funcione bien (y si puede ser con las condiciones mínimas). Esto quiere decir que la función tenga buenas propiedades. continuidad, derivabilidad...

Por ello puede que el teorema exiga que la función inicial sea biyectiva (y no sólo inyectiva) porque en la tesis nos devuelve muchas más condiciones, como por ejemplo derivabilidad de la función en cierto conjunto que habría que determinar en cada función.

Déjame parar un poco a estudiarlo (tengo los apuntes guardados). Te respondo en cuanto lo vea a las dos preguntas.

Un saludo

Hola.

He estado mirando el tema del que hablábamos.

En cuanto a la pregunta sobre la inversa, no hace falta que la función original sea biyectiva para garantizar la inversa. Basta con la inyectividad y esto se puede ver en el siguiente lema que he encontrado.

Lema:

Sea f: A → B son equivalentes:

1.-  f es inyectiva

2.- ∀x, y∈A, x≠y => f(x)≠f(y)

3.- f inversible

Si paras a pensar un poco y te haces un dibujito es muy fácil ver que con eso es suficiente. Si cada elemento distinto tiene imagen distinta, el proceso inverso es el mismo.

Si en un caso no lo ves no dudes en contarlo y ponemos un ejemplo.

En cuanto a lo otro, una aplicación inyectiva es aquella en la cual dos elementos distintos tienen imágenes distintas. Lo demás no debe importar.
Pero cuando nosotros hacemos por ejemplo un dibujo con conjuntos y los unimos con flechas, lo más normal es que todo elemento del origen tenga asociado uno, porque si no, ese elemento no estaría. Imagina que definimos una función f(n)=n pero f:ℕ→ℕ, esto quiere decir que la función ya no es como tu la conoces, ahora son puntitos, porque el conjunto origen ya son los números naturales. Esto es como si pongo la función sobre los reales pero solo asigno al natural. Para eso no pongas la función sobre los reales y ponla como la he puesto.

Un saludo
Javier

Muchísimas gracias Javimat por las molestias que te has tomado.

Creo que tu respuesta ha quedado magníficamente clara en las dos observaciones que haces; de todos modos, tengo que ver con ejemplos más claros lo del primer caso de la inyectividad, porque entonces parece (y digo sólo que parece) que la información que yo tenía sobre la exigencia de biyectividad no era exacta. De todos modos, se me ocurre algo que puede ayudarme a aclararme definitivamente. Voy a intentar hace una pequeña tabla con funciones básica y escribir su tipo:

y = x         biyectiva
y = 1/x      biyectiva
y = x²       estoy en duda: inyectiva no puede ser, no cumple. Pero sobreyectiva tampoco, porque el conjunto de   llegada tiene elementos sin valor (a no ser que restrinjamos el conjunto de llegada como tú comentaste sobre la inyectividad)

y = x³        biyectiva
y = √x       (restringido a los valores positivos de y, porque si no, no sería función)   biyectiva
y = e^x        inyectiva (suprayectiva, si restringimos y a los valores positivos, y por tanto, biyectiva)

Estos razonamientos que hago, ¿son correctos? Mi truco con estas cosas es imaginarme su gráfica e invertirla con respecto al eje y=x y ver si es una función o no, pero me gusta tener los conceptos teóricos también claros.

Si pudieras poner otros ejemplos que se te ocurran de inyectividad y suprayectividad de funciones así elementales, me sería de grandísima ayuda.

La condición que tú pones en el lema de x≠y ⇒ f(x)≠f(y) entiendo que habrá que leerse justamente en el orden de la flecha doble, pero no al revés. Es decir, no se tiene por qué cumplir que f(x)≠f(y) ⇒ x≠y

Muchas gracias por todo tu esfuerzo.

Hola,

lo primero a lo que respondo es a la última pregunta, pues es la más fácil.

En el lema que enuncié la condición 2 está en sentido ⇒; pero hay algo que debe quedar explicado: la implicación ⇔ es la que caracteriza por definición la inyectividad; el resultado usa la inyectividad para demostrar que es invertible, pero no debemos entenderlo mal.

En cuanto a los ejemplos, tenemos que tener cuidado en lugar donde queda definida la función, por eso es
tan importante poner: f:X→Y

porque: f:ℝ→ℝ, f(x)=x² no es sobreyectiva (suprayectiva) pues el conjunto imagen de los reales negativos no son "la imagen por f" de nada.

Sin embargo, f:ℝ→ℝ⁺ ∪ {0}, f(x)=x² lo es

f(x)=x² no es inyectiva ya que cada elemento de ℝ (en llegada) es imagen de f de dos elementos simétricos respecto del origen, si tiene.

Si es o no sobreyectiva depende de cómo definas los espacios donde toma valores f tanto devuelve.

El caso de f(x)=√x es similar: debe definirse f:ℝ⁺∪{0} →... y según sea el espacio llegada digo.

El resto son OK

En cuanto a ejemplos básicos dices, si queda claro f(x)=x^2 es igual con f(x)=xⁿ, n par

Podríamos buscar más ejemplos pero ya dejarían de ser los fáciles.

Saludos,
Javi

Muchas gracias Javimat por tu respuesta. Me ha quedado todo muy claro. Solamente tengo dudas con el párrafo en el que dices:

"En el lema que enuncié la condición 2 está en sentido ⇒; pero hay algo que debe quedar explicado: la implicación ⇔ es la que caracteriza por definición la inyectividad; el resultado usa la inyectividad para demostrar que es invertible, pero no debemos entenderlo mal."

Dices que ⇔ caracteriza la inyectividad. En la expresión del lema que sugieres, si colocáramos esa doble flecha, ¿no tendríamos una función biyectiva?. A partir de ahí, ya me he liado con el resto del párrafo.

Gracias por todo y perdona las molestias.

Buenos días,

en cuanto a lo que comentas, es muy importante no caer en la confusión entre definición y lema, aunque esto parezca una tontería.

Por definición, una función es inyectiva si dos elementos con la misma imagen son el mismo. Realmente eso es como la doble implicación:

=> Si dos elementos tienen la misma imagen son el mismo
<= Si dos elementos son el mismo tienen la misma imagen

Lo que ocurre es que te puse un lema, con otro tema totalmente distinto, que era el uso de la inyectividad para inversa. Lo que diga ese lema no tiene
que ver con la inyectividad, porque una cosa es cuándo una función es inyectiva y otra es usar un lema que usa parte de la definición de inyectividad para probar la inversa.

No te confundas, cuando quieras saber si una función es inyectiva => definición

Un saludo,
Javi