Foros Ciencias Galilei

Hola, tengo bastantes dudas sobre este ejercicio.

Sea un disco homogéneo de densidad másica σ y radio R. Una masa de situa a una distancia h del círculo , sobre su eje. ¿cual es la fuerza de atracción entre masa y circulo?

Hola.



E = -G·∫dm/r².  Aplicado a este problema. No tiene componente 'x', por simetría es cero)

           _R
Ey = -G·∫cos α·dm/d² = *
          ⁰

m = σ·S = σ·π·r²     =>    dm =  2·σ·π·r·dr

dm es la masa del anillo remarcado en el dibujo de anchura dr.

d² = h² + r²        y     cos α = h/d

Sustituyendo:

* = -2·σ·π·G·∫(h/d)·r·dr/d² = 2·σ·π·G·h·∫r·dr/d³ =

= -2·σ·π·G·h·∫r·dr/√(h² + r²)³ = -2·σ·π·G·h·∫r·(h² + r²)^-3/2·dr =

= -σ·π·G·h·∫2·r·(h² + r²)^-3/2·dr =

La derivada del paréntesis está fuera. Llamando u = h² + r²   du = 2r·dr y queda:
                                          
                                        2·σ·π·G·h
= 2·σ·π·G·h·(h² + r²)^-1/2 = ----------------
                                        √(h² + r²)

Como hay que sumar desde 0 a R (límites de integración):
                              1                       1
Ey = 2·σ·π·G·h ( --------------  -  --------------)
                        √(h² + R²)                 h


Revisalo que lo he hecho muy rápido y de oidas.

Por cierto, la fuerza es el campo por masa que hay en h.