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Considerando en el programa a f(t) como la fuerza de entrada, k como la constante de  proporcionalidad del resorte, β como la constante de amortiguamiento del amortiguador y x(t) como la señal de salida, el modelo correspondiente es:

a) f (t) = kx + β x

b) f(t) = mx + β x +kx

c) f(t) =- kx - β x

d) f(t) = mx - kx - β x

algunas  x tienen un puntito arriba

Sobre un sistema masa resorte amortiguado forzado actuan varias fuerzas que paso a describirte a continuación:

La propia del resorte -kx. El menos se debe a que esta fuerza es siempre de signo contrario a la elongación x (es una fuerza restauradora).

La fuerza de amortiguamiento que suele ser un émbolo que se mueve dentro de un líquido. El rozamiento depende de la viscosidad, densidad, etc de éste. Se mide mediante un coeficiente llamado β (parecido a μ en el rozamiento). También es negativo porque se opone al movimiento.

La fuerza exterior que se la denomina genericamente f(t). El signo de esta fuerza viene determinado por la propia función.

Al aplicar la ley de Newton tendremos que tener en cuenta todas ellas y sumarlas para igualarlas a la masa por la aceleración.

∑F = m·a = m·d²x/dt (esta es la que tiene dos puntitos)

m·d²x/dt= -kx -βx + f(t)

Que es lo mismo que la solución b)

Una pregunta ¿qué pasa con el peso del cuerpo que oscila? ¿Por qué no se tiene en cuenta?

no lo se

los signos de la ecuacion  siempre quedarian  positivos ?

El cuerpo que oscila no se toma en cuenta por que el  resorte y el amortiguamiento siempre son constantes

Tenemos un resorte de longitud determinada. Cuando colgamos en él la masa, éste se estira hasta una longitud mayor que contrarreste el peso colgado. Esta es la que se toma como posición de equilibrio (el resorte con la masa, no la longitud inicial del resorte). Luego al tomar esa posición de equilibrio ya hemos tenido en cuenta el peso de la masa y la hemos contrarrestado con la mayor longitud del mismo.

En la ecuación ∑F = m·a

El signo ∑ indica (como sabrás) suma pero suma algebraica (teniendo en cuenta el signo).

m·d²x/dt= -kx -βx + f(t)

Ahora si lo pasamos al primer término pasa positivo, quedando:

m·d²x/dt + kx + βx = f(t)

Quedan positivos en este lado de la ecuación pero en realidad en la suma de las fuerzas debe ponerse negativo, pues como te expliqué, la ley de Hooke se espresa:

F = -k·x siendo F y x vectores. Ese signo indica que cuando la x es positiva (la masa se encuentra por encima de la posición de equilibrio) la fuerza es negativa (tira hacia abajo, hacia los negativos) y viceversa. Es decir el signo indica que F y x siempre se "oponen". Es por ello que se llama fuerza restauradora. Lo mismo se puede decir de la fuerza  de amortiguamiento.