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En relación a la pregunta sobre y=x^x, he pensado sobre una pregunta que sería similar a la planteada en otro tema: ¿por qué las potencias de base negativa no están definidas en los logaritmos?
Existen potencias de base negativa que podemos calcularlas, pero sin embargo decimos que cuando tenemos una base negativa, el logaritmo respectivo no existe.
Me planteo si esto es debido a que no podemos asegurar que todas las bases negativas tengan una potencia real y por ello se opta por excluir a todas las bases negativas del cálculo.
Es mi opinión pero no estoy seguro de ella, por lo que la someto a vuestro criterio.

Gracias a Etxeberri por su sugerencia para abrir este nuevo tema.

-Hola, Pedrom.

Encontré una respuesta que me satisface y presento la idea -que no es mía-, pero que se me debería haber ocurrido a mí   .
Además, creo que también explica bien el enigma del dominio de y=x^x.

¿Cuánto vale  log_-2 -8 ? Si la pregunta la entendemos como ¿a cuánto hay que elevar -2 para obtener -8?, la respuesta es 3.
Pero ninguna calculadora devolverá ese resultado. Wolfram: log_-28
El problema parece estar en (-2)^x, función inversa de log_-2x. Definamos esta función: f(x) = (-2)^x y veamos cómo se comporta:

 valores de x:
           enteros impares: f(3) = (-2)³ = -8, real -            
           enteros pares: f(2) = (-2)² = 4, real +

           Si x es fraccionario con denominador impar, el resultado será positivo o negativo, dependiendo del numerador.
           Si x es fraccionario con denominador par, el resultado es imaginario.
           
           Si x no es fraccionario ni entero, es decir, irracional: f(π) = (-2)^π, no podemos saber si será positivo o negativo, real o imaginario.
           
           Entonces la gráfica de f(x) = (-2)^x no es más que un batiburrillo de puntos aislados que saltan de positivo a negativo, o de valor no real, complejo, o con intervalos que quedan inderfinidos: ver gráfica     

Pues bien, la inversa de esta función así descrita es precisamente y = log_-2x, y si la anterior no es posible describirla de forma satisfactoria, y = log_-2x no puede quedar bien definida por ser reflejo una de la otra. ¿A cuánto hay que elevar -2 para obtener x? Buf, solo si x es un número racional de denominador impar podríamos definirlo sin problemas.
Así que evitamos los logaritmos de base negativa, y en paz.
Si se da el caso de la pregunta ¿a cuánto hay que elevar -2 para obtener -8?, se hace un estudio detallado como arriba con herramientas distintas del logaritmo (aunque su idea estará presente).
Por último, parece que los logaritmos de argumento o de base negativa (log -10 ; log_-210) sí tienen desarrollo en el campo de los números complejos, de ahí que el Wolfram devuelva ese extraño valor para log_-2-8

  Venga.

Estimado Etxeberri:
No has podido decir más con menos palabras, y más claramente.
Muchísimas gracias por tu aportación porque me confirma en mis pensamientos.