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1.-  En el  desarrollo binomial  (x³ - 2x)(x²+3x)⁸  determine, si es que existe, el término independiente de x.

2 .- En el desarrollo  binomial (x^-3   - 2x)(x² +3x^-1)ⁿ  determine  bajo qué condiciones de  n existe un término independiente de x.

Es evidente que no pues todos los términos tendrán x ya que:

(x³ - 2x)(x²+3x)⁸ = x⁹(x²-2)(x+3)⁸

siendo todos los exponentes positivos.

El término 'm' del segundo binomio será del tipo:

K·(x²)^n-m·(x^-1)^m = x^{2n-2m - m} = x^2n-3m

Como delante tiene un binomio (x^-3 - 2x), el término anterior quedará multiplicado por x^-3 o por x. Hay, por tanto dos posibilidades para el exponente cero (término independiente):

2n - 3m - 3 = 0 ⇒ m = (2n-3)/3

y

2n - 3m + 1 = 0 ⇒ m = (2n+1)/3

Luego la condición será que (2n-3) o (2n+1) sean múltiplos de 3.

En el primer caso serían n= 3, 6, 9 ... (progresión aritmética de razón 3 y primer término 3)

En el segundo caso serían n = 1, 4, 7 ... (progresión aritmética de razón 3 y primer término 1)

Resumen:

n = 1 , 3 , 4 , 6 , 7 ...

No podría ser ni 2, ni 5, ni 8

o lo que es lo mismo que:

n ≠ 2 + 3·(k-1)

con 'k' natural y mayor que cero.