Foros Ciencias Galilei

a) Deduzca una fórmula para la suma de los n primeros términos elevados a su cuarta potencia:

_n
∑ k^4
k=1

b) Demuestre la validez de la fórmula para ∀n ε N

PD :  no sé por qué  no pude colocar la imagen directamente en el foro  

He visto en internet que la respuesta es esta:

_n
∑ k⁴ = [n·(n+1)·(2n+1)·(3n²+3n-1)]/30
^k=1

pero todavía no lo he visto...

A ver si me puedes dar una pista. ¿Has dado algún teorema relacionado con este tipo de ejercicios?. No parece, en principio, fácil.

a)

(n+1)⁵ =                   =      n⁵+      5n⁴+      10n³+      10n²+     5n+1
      n⁵ = [(n-1)+1]⁵ = (n-1)⁵+5(n-1)⁴+10(n-1)³+10(n-1)²+5(n-1)+1
(n-1)⁵  = [(n-2)+1]⁵ = (n-2)⁵+5(n-2)⁴+10(n-2)³+10(n-2)²+5(n-2)+1
.....
....
      3⁵=                   = 2⁵+5*2⁴+10*2³+10*2²+5*2+1
      2⁵ =                   = 1⁵+5*1⁴+10*1³+10*1²+5*1+1
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SUMANDO Y ELIMINANDO LOS TERMINOS COMUNES A UNO Y OTRO LADO DEL SIGNO IGUAL  
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(n+1)⁵ = 1⁵ + 5(1⁴+2⁴+3⁴+....+n⁴) + 10(1³+2³+....+n³) + 10(1²+2²+...+n²) + 5(1+2+...+n) + n

n⁵+5n⁴+10n³+10n²+5n+1 = 1+ 5S+ 10[n(n+1)/2]²+ 10[n(n+1)(2n+1)/6]+ 5[n(n+1)/2]+ n

a partir de aqui son operaciones agrupando etc hasta que se llega a

30S = n(6n⁴+15n³+10n²-1)

aplicando Ruffini

30S = n(n+1)(6n³+9n²+n-1)

Hay un metodo para resolver ecuaciones de tercer grado cuando no sirve Ruffini pero me canse.
Se comprueba que 6n3+9n2+n-1 = (2n+1)(3n2+3n-1)

Luego: S = [n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)]/30 c.q.d.

No entiendo la parte b)

La unica condicion que se ha impuesto a n es que sea entero (los ∑ solo trabajan con numeros enteros) luego por su propia construccion es valido para todo n∈N.

Corrijo. Ya entiendo a que se refiere.

Partimos de que la expresion del sumatorio de k⁴ entre 1 y n es = n(n+1)(2n+1)(3n²+3n-1)/30

el sumatorio de k⁴ entre 1 y n+1 sera (sustituyendo n por n+1) = (n+1)(n+2)[2(n+1)+1][3(n+1)²+3(n+1)-1]/30

sumatorio de k⁴ entre 1 y n+1 = sumatorio de k⁴ entre 1 y n + (n+1)⁴. Por tanto

n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30 + (n+1)⁴ = (n+1)(n+2)[2(n+1)+1][3(n+1)²+3(n+1)-1]/30

Ahora es solo quitar denominadores y operar .

Al final sale 0=0.

No lo pongo porque tardaria una hora y, en realidad son solo operaciones. El concepto ya esta expuesto. Si alguien quiere completarlo le animo a que lo haga.

Una vez demostrado que si es cierto para n, lo es tambien para n+1, lo comprobamos para n=1

debe ser 1 = 1(1+1)(2*1+1)(3*12+3*1-1)/30 =1*2*3*5/30 = 1 luego es cierto

Creo que se han pasado con Killua poniéndole este ejercicio. Se supone que estudia útimo ciclo de secundaria que, en Chile, es un curso previo a la universidad (2ºBTO en España). Son problemas, que salvo el cálculo, no tienen nada de pedagógicos.

A mi me costo el fin de semana.

Ohhhh Muchísimas  gracias  Baloo !!

de verdad  te pasaste!! Muy  claro  todo, me había costado un montón entender el ejercicio.
Te vuelvo  a reiterar  mi agradecimiento.



pucha !!  Había  olvidado  decirlo, pero hace un tiempo rendí  la prueba de selección universitaria  y felizmente quedé  aceptado en la Universidad  de Santiago de Chile para cualquier  carrera que yo quisiera  y me decidí por ingeniería  civil,  oficialmente  entré como  hace  un mes.

Aunque igual  muchos de los contenidos que  aquí  en Chile ( y en gran parte de sudamerica ) se ven  en 1º de universidad, corresponden  a bachillerato en  España, asi que  yo  creo que por un tiempo voy a  seguir colocando  ejercicios que son de  bachillerato, por ejemplo en el curso de cálculo  recién comencé  a ver límites y se supone que debiera terminar  el semestre  con derivadas,  y según lo que  he visto en  el  foro eso  ni siquiera alcanza  a ser bachillerato.

Bueno  eso, parece que me alargué mucho, pero  cuando te  vea en el  chat, si quieres te explico  bien la historia.

Saludos !

Te asciendo de categoría en el rango. Felicidades (retrasadas)

Me he perdido en al parte q demuestra Baloo   , la pregunta es la formula explìcita para los n primeros numero elevados a la cuarta potencia, pero ¿por q empiezas evaluandolos a la quinta??..la verdad es q no entiendo...