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Mensaje 19 Abr 08, 22:10  5249 # 1



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a) Deduzca una fórmula para la suma de los n primeros términos elevados a su cuarta potencia:

n
k4
k=1

b) Demuestre la validez de la fórmula para ∀n ε N

PD :  no sé por qué  no pude colocar la imagen directamente en el foro  :?:
          
       


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Mensaje 20 Abr 08, 00:42  5253 # 2


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He visto en internet que la respuesta es esta:

n
∑ k4 = [n·(n+1)·(2n+1)·(3n²+3n-1)]/30
k=1

pero todavía no lo he visto...

A ver si me puedes dar una pista. ¿Has dado algún teorema relacionado con este tipo de ejercicios?. No parece, en principio, fácil.


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Mensaje 21 Abr 08, 16:38  5280 # 3


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a)

(n+1)5 =                   =      n5+      5n4+      10n3+      10n2+     5n+1
      n5 = [(n-1)+1]5 = (n-1)5+5(n-1)4+10(n-1)3+10(n-1)2+5(n-1)+1
(n-1)5  = [(n-2)+1]5 = (n-2)5+5(n-2)4+10(n-2)3+10(n-2)2+5(n-2)+1
.....
....
      35=                   = 25+5*24+10*23+10*22+5*2+1
      25 =                   = 15+5*14+10*13+10*12+5*1+1
---------------------------------------------------------------------------------------
SUMANDO Y ELIMINANDO LOS TERMINOS COMUNES A UNO Y OTRO LADO DEL SIGNO IGUAL  
----------------------------------------------------------------------------------------

(n+1)5 = 15 + 5(14+24+34+....+n4) + 10(13+23+....+n3) + 10(12+22+...+n2) + 5(1+2+...+n) + n

n5+5n4+10n3+10n2+5n+1 = 1+ 5S+ 10[n(n+1)/2]2+ 10[n(n+1)(2n+1)/6]+ 5[n(n+1)/2]+ n

a partir de aqui son operaciones agrupando etc hasta que se llega a

30S = n(6n4+15n3+10n2-1)

aplicando Ruffini

30S = n(n+1)(6n3+9n2+n-1)

Hay un metodo para resolver ecuaciones de tercer grado cuando no sirve Ruffini pero me canse.
Se comprueba que 6n3+9n2+n-1 = (2n+1)(3n2+3n-1)

Luego: S = [n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)]/30 c.q.d.


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Mensaje 21 Abr 08, 16:47  5281 # 4


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No entiendo la parte b)

La unica condicion que se ha impuesto a n es que sea entero (los ∑ solo trabajan con numeros enteros) luego por su propia construccion es valido para todo n∈N.


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Mensaje 22 Abr 08, 00:00  5286 # 5


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Corrijo. Ya entiendo a que se refiere.

Partimos de que la expresion del sumatorio de k4 entre 1 y n es = n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30

el sumatorio de k4 entre 1 y n+1 sera (sustituyendo n por n+1) = (n+1)(n+2)[2(n+1)+1][3(n+1)2+3(n+1)-1]/30

sumatorio de k4 entre 1 y n+1 = sumatorio de k4 entre 1 y n + (n+1)4. Por tanto

n(n+1)(2n+1)(3n2+3n-1)/30 + (n+1)4 = (n+1)(n+2)[2(n+1)+1][3(n+1)2+3(n+1)-1]/30

Ahora es solo quitar denominadores y operar .

Al final sale 0=0.

No lo pongo porque tardaria una hora y, en realidad son solo operaciones. El concepto ya esta expuesto. Si alguien quiere completarlo le animo a que lo haga.

Una vez demostrado que si es cierto para n, lo es tambien para n+1, lo comprobamos para n=1

debe ser 1 = 1(1+1)(2*1+1)(3*12+3*1-1)/30 =1*2*3*5/30 = 1 luego es cierto


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Mensaje 22 Abr 08, 13:29  5290 # 6


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Creo que se han pasado con Killua poniéndole este ejercicio. Se supone que estudia útimo ciclo de secundaria que, en Chile, es un curso previo a la universidad (2ºBTO en España). Son problemas, que salvo el cálculo, no tienen nada de pedagógicos.


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Mensaje 22 Abr 08, 14:04  5291 # 7


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A mi me costo el fin de semana.


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Mensaje 24 Abr 08, 20:22  5334 # 8


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Ohhhh Muchísimas  gracias  Baloo !!

de verdad  te pasaste!! Muy  claro  todo, me había costado un montón entender el ejercicio.
Te vuelvo  a reiterar  mi agradecimiento.

Galilei escribió:
Creo que se han pasado con Killua poniéndole este ejercicio. Se supone que estudia útimo ciclo de secundaria que, en Chile, es un curso previo a la universidad (2ºBTO en España). Son problemas, que salvo el cálculo, no tienen nada de pedagógicos.


pucha !!  Había  olvidado  decirlo, pero hace un tiempo rendí  la prueba de selección universitaria  y felizmente quedé  aceptado en la Universidad  de Santiago de Chile para cualquier  carrera que yo quisiera  y me decidí por ingeniería  civil,  oficialmente  entré como  hace  un mes.

Aunque igual  muchos de los contenidos que  aquí  en Chile ( y en gran parte de sudamerica ) se ven  en 1º de universidad, corresponden  a bachillerato en  España, asi que  yo  creo que por un tiempo voy a  seguir colocando  ejercicios que son de  bachillerato, por ejemplo en el curso de cálculo  recién comencé  a ver límites y se supone que debiera terminar  el semestre  con derivadas,  y según lo que  he visto en  el  foro eso  ni siquiera alcanza  a ser bachillerato.

Bueno  eso, parece que me alargué mucho, pero  cuando te  vea en el  chat, si quieres te explico  bien la historia.

Saludos !
          
       
    

Mensaje 24 Abr 08, 21:09  5335 # 9


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Te asciendo de categoría en el rango. Felicidades (retrasadas)


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Mensaje 25 Abr 08, 21:14  5343 # 10


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Me he perdido en al parte q demuestra Baloo  :shock: , la pregunta es la formula explìcita para los n primeros numero elevados a la cuarta potencia, pero ¿por q empiezas evaluandolos a la quinta??..la verdad es q no entiendo...


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
       


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