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Mensaje 04 Nov 07, 14:37  3179 # 1



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1- Halla el número positivo cuya suma con 25 veces su inverso sea mínima

2- De todos los triángulos restángulos cuyos catetos suman 10cm, halla las dimensiones de aquel cuya área sea máxima.



Llevo un par de dias con estos problemas, pero no soy capaz de hacerlos, la profesora tampoco nos lo ha explicado mucho, pero me gustaría entenderlo.
          
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Mensaje 04 Nov 07, 21:41  3184 # 2


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1-Halla el número positivo cuya suma con 25 veces su inverso sea mínima


y = x + 25·(1/x)

Esta función da la suma de un número con 25 veces su inverso. Vamos a calcular el que daría como resultado un mínimo. Para ello derivamos:

y' = 1 - 25/x² = (x² - 25)/x²

Las soluciones son x² - 25 = 0 ⇒ x = ±5

Tomemos el positivo, 5, y comprobemos que se trata de un mínimo y que por tanto la derivada cambia de signo en él de - a +.

denominador x²>0

Antes del 5, x²-25<0  y'<0
Después del 5, x²-25>0  y'>0

Veamos, ahora, cuánto vale esa suma mínima. Para ello sustituimos x=5 en la función:

y(5) = 5 + 25·(1/5) = 10

Este es el valor mínimo, 10, para x=5


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Mensaje 04 Nov 07, 21:48  3185 # 3


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2-De todos los triángulos restángulos cuyos catetos suman 10cm, halla las dimensiones de aquel cuya área sea máxima


Sean a y b los catetos del triángulo rectángulo.

a+b=10

Area(a) = Base·altura/2 = a·b/2 = a·(10-a)/2

Derivamos la función área:

A'(a) = 5 - a

La igualamos a cero y sale que a=5

Veamos que se trata de un máximo. Para ello la derivada debe pasar de + a - en a=5

Antes del 5 ⇒ A'>0
Después de 5 ⇒ A'<0

La supuesta área máxima vadrá:

Area(a) = a·(10-a)/2 = 5·(10-5)/2 = 12,5 cm²


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Mensaje 04 Nov 07, 23:48  3194 # 4


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Muchas gracias, me ha servido de mucho  :)
          
       


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