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Para saber la velocidad media de un móvil basta con saber su desplazamiento y el tiempo transcurrido en el mismo. El cociente de ambos nos daría la velocidad media en ese intervalo de tiempo. Rapidez con que cambia de posición.

Si ese intervalo de tiempo es grande no sabremos nada de la velocidad real en un tiempo determinado (la media no es la real).

Para saber la velocidad real (instantánea) del móvil en un tiempo determinado, debemos tomar el límite del cociente entre desplazamiento e intervalos de tiempos, con éstos tendiendo a cero. Es decir, la velocidad instantánea es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño.

Lim (∆r/∆t) = V(t)
∆t→0

Por ejemplo:

Para saber la velocidad con la que pasa una piedra por delante de tu ventana, en su caída, deberías saber el espacio que recorrió después de pasar por ésta en un segundo.  Luego en una décima de segundo, una centésima, etc. El límite de los cocientes entre espacio recorrido e intervalos de tiempos, con éstos cada vez más pequeños,  nos daría la velocidad de paso por tu ventana. Esta forma de ver las cosas fue un paso fundamental en el cálculo matemático ya que hasta entonces se pensaba que un instante tiene por intervalo cero segundo y una piedra no recorre nada en ese tiempo, luego no se podía saber la velocidad instantánea.

A esa idea se la llamó cálculo diferencial, y nos da una forma fácil y elegante de calcular variaciones de una función con respecto a una variable.

Se dice que la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo.

V = dr/dt

Téngase en cuenta que todas las ciencias estudian relaciones entre magnitudes y la dependencia que hay entre ellas:
La longitud de una barra de hierro depende de la temperatura, el tiempo de oscilación de un péndulo depende de la longitud de éste y de la gravedad, la deformación de una viga depende de su carga, etc.



LA DERIVADA MIDE LA PAPIDEZ DE CAMBIO DE UNA FUNCIÓN, LA VELOCIDAD CON QUE CAMBIA f(x) CON RESPECTO A UN CAMBIO EN LA VARIABLE x.

Derivadas (U. Mecánico)

Lo mismo sucede si un móvil cambia de velocidad, a este cambio se le llama aceleración. La velocidad mide la rapidez con que un móvil cambia de posición, la aceleración mide la rapidez del cambio de la velocidad (segunda derivada).
Para calcular la aceleración en un momento dado, se divide los cambios de velocidad que ha experimentado entre el tiempo transcurrido para ese cambio (para el momento dado). El limite de esta sucesión de cocientes con incrementos de tiempos cada vez pqueño de le denomina 'derivada de v respecto a t' y en este caso representa la aceleración del móvil. La rapidez con que cambia la velocidad.

Lím ∆v(t)/∆t = a(t)
∆t→0

Por cierto, el cociente sin el límite es la aceleración media.