Foros Ciencias Galilei

  Saludos amigos del Foro de Ciencias Galilei, les escribe Mario Rodriguez, en esta ocasión les voy a plantear 2 PROBLEMAS SOBRE LA LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO.



Nota: Tuve la oportunidad de debatir este problema con mis compañeros de estudio y surgieron varias ideas al respecto, a mi se me ocurrió aplicar la relación W^NETO = ∆Ec  (Trabajo neto y la Variación de la Energía Cinética) y llegue a que la rapidez mínima es 4 m/s. Curiosamente otro compañero planteó que W^FNC = ∆E_M (Trabajo de las Fuerzas No Conservativas y la Variación de la Energía Mecánica). Y aunque el compañero llegó a la misma respuesta, su método causó controversia ente los presentes pues llegó a plantear que el TRABAJO DE LA FUERZA ELÉCTRICA HACE VARIAR LA ENERGÍA MECÁNICA y otro compañero le objetó pues según él la FUERZA ELÉCTRICA ES CONSERVATIVA y por lo tanto no podía aplicar esa relación. Por mi parte...a mi me parece que la relación que W^FNC = ∆E_M si es válida y el hecho de que la Fuerza Eléctrica sea Conservativa no invalida la ecuación: W^FNC = ∆E_M pues según tengo entendido que la fuerza eléctrica es CONSIDERADA FUERZA CONSERVATIVA PORQUE SU TRABAJO NO HACE VARIAR LAS ENERGÍAS MECÁNICA Y POTENCIAL ELÉCTRICA PERO SI EN MI ANÁLISIS SÓLO CONSIDERO LAS ENERGÍAS MECÁNICAS (SIN CONSIDERAR LA ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA) ENTONCES SI ES VÁLIDO APLICAR QUE W^{Fuerza Eléctrica} = ∆E_M A pesar de presentar esta argumentación en favor de mi compañero de clase a mis demás amigos no les convenció este método...hasta me hicieron dudar.....También recuerdo que otro compañero atacó el problema enfocándolo desde otra prespectiva con el CRITERIO DE LA GRAVEDAD EFECTIVA....y llegó a la misma respuesta pero su método nos dejó un poco dubitativos. Si mal no lo recuerdo mi compañero al solucionar el problema UBICÓ UN OBSERVADOR DENTRO DEL SISTEMA, PARA ESTE OBSERVADOR EXISTE UN CAMPO GRAVITATORIO EFECTIVO Y SOBRE LA ESFERA HABRÍA UNA FUERZA DE GRAVEDAD EFECTIVA QUE ES LA RESULTANTE DE LA FUERZA DE GRAVEDAD Y LA FUERZA ELÉCTRICA, EN OTRAS PALABRAS REEMPLAZÓ ESTAS 2 FUERZAS POR ESTA ÚNICA FUERZA: "LA FUERZA DEBIDO AL CAMPO GRAVITATORIO EFECTIVO" y aquí viene lo que nos dejó perplejos a mi y a mis amigos, mi compañero afirmó que: "PARA EL OBSERVADOR LA ENERGÍA MECÁNICA SE CONSERVA PUES SÓLO ACTÚA UNA FUERZA CONSERVATIVA (La Fuerza debido al campo gravitatorio efectivo) ¿Es esto correcto?       y considerando que la tensión del hilo es perpendicular en todo instante a la velocidad instantánea aplicó la conservación de la energía para el observador ....y llegó a la misma respuesta....Sin embargo su método de la "gravedad efectiva" generó confusión entre mis amigos. Por eso me gustaría que resuelvan este problema en el Foro si fuese posible con varios métodos.



Este problema también generó controversias en clase. Un amigo me sugirió atacar el problema con el Criterio de D^Alembert o Criterio de la Fuerza Ficiticia....Al parecer este método es bastante apropiado pues desde Tierra se verían dos aceleraciones y el análisis sería muy complejo ¿o no? Me parece que desde Tierra la trayectoria de la partícula seria Helicoidal   ¿o estoy equivocado? (pues es la composición de dos movimientos: Circunferencial y M.R.U.V en la vertical) De todas maneras me gustaría ver una solución con un observador ubicado en Tierra (Sistema Inercial).

Si no fuera mucho pedir me gustaría que en la solución de estos problemas incluyan gráficos donde se pueda apreciar lo que acontece físicamente.

Sin más que decirles me despido agradeciéndoles de antemano su ayuda.


                               Atentamente: Mario Rodríguez    

Para que pueda completar una vuelta, en la parte de arriba de la trayectoria, debe tener una velocidad que le haga pasar ese punto (aceleración centrípeta) y no se pare en él.

Las fuerzas que actúan arriba son el peso, P, la tensión, T,  y la fuerza eléctrica, F (todas dirigidas al centro):

T + P + F = M·a = M·Va²/R

La mímima velocidad se obtiene cuando la T es cero (la cuerda no se tensa arriba):

P + F = M·a = M·Va²/R

M·g + q·E = M·Va²/R =>  Va² = R·(M·g + q·E)/M

Ahora, analizamos el trabajo que se debe realizar para elevar la masa a una altura 2R debido al campo gravitatorio y la de mover una carga q dentro de un campo eléctrico:

Por unidad de masa ese trabajo es (cambio de potencial gravitatorio) = g·h = g·2R
Por unidad de carga ese trabajo es (cambio de potencial eléctrico) = E·d = E·2R

Aplicando el principio de conservación de energía:

½·M·Vo² = M·g·2R + q·E·2R + ½·M·Va² = M·g·2R + q·E·2R + ½·M·R·(M·g + q·E)/M

Simplificando las masas del último término:

½·M·Vo² = M·g·2R + q·E·2R + ½·R·(M·g + q·E) = 2·M·g·R + 2·q·E·R + ½·M·g·R + ½·q·E·R =

M·g·R (2+½) + q·E·R (2+½) = (5/2)·R·(M·g + q·E)

Sale M·g·R (2+½) porque 2·M·g·R es la energía para elevarlo contra la gravedad y el ½·M·g·R es para que le quede velocidad arriba y no caiga en el punto más alto (como se comentó antes). Lo mismo para el término q·E·R (2+½).

Despejando Vo:

Vo² = 5·R·(M·g + q·E)/M

Solución: Vo = √15 m/s

Nota_1:

Lo que tu compañero asocia con una fuerza 'efectiva' es:

F = M·g + q·E

Es como si estuviera en un planeta de gravedad g' = g + q·E/M sin campo eléctrico.

Nota_2:

Se ha supuesto que la masa cargada se eleva por la distancia más corta, 2R, entre los puntos inferior y superior de la trayectoria ya que al ser ambos campos conservativo no depende del camino por donde se lleve. La T no realiza trabajo por ser perpendicular al desplazamiento en todo momento.

    Gracias por la ayuda. De todas maneras me gustaría dilucidar las siguientes dudas: ¿La fuerza eléctrica es conservativa? y si lo fuese ¿es válido aplicar en la solución de un problema la relación W^{Fuerza Eléctrica} = ∆E_M, sin considerar obviamente a la ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA? y con respecto al problema donde se aplico el criterio de la GRAVEDAD EFECTIVA: ¿Quiere decir que para el observador ubicado dentro de mi sistema YA NO EXISTE CAMPO ELÉCTRICO solamente un campo gravitatorio (g' = g + q·E/M)      ? ¿esto quiere decir que para este observador ubicado dentro del sistema se conserva la energía mécanica? pues al parecer para este observador existe sólo fuerzas conservativas mientras que para un observador ubicado fuera del sistema al existir campo eléctrico,   ¿se cumpliría W^{Fuerza Eléctrica} = ∆E_M?
Con respecto al segundo problema del péndulo cónico me gustaría que lo solucionaran desde Tierra (Sistema Inercial). Obviamente que para un observador ubicado dentro del ascensor acelerado la solución se simplifica, sólo tendría que tener en cuenta el Criterio de D^Alembert o Criterio de la Fuerza Ficiticia pero mi problema es analizarlo desde Tierra     Me parece que la partícula desarrolla una trayectoria Helicoidal      ¿o me equivoco?        

Les estaré muy agradecido si me ayudan a dilucidar estas cuestiones.

Sin más que decirles me despido.  


                                                      Atentamente: Mario Rodríguez  

Sí, si lo es.
Demostración:
Una fuerza conservativa es aquella que su trabajo se puede escribir con la expresión:
W_AB(Fconservativa)= Expresion(A)-Expresion(B)
-
El trabajo que realiza una fuerza constante se puede calcular como:
W_AB(F_constante)= F·∆r·cosα

La fuerza eléctrica viene dada por:
F_elect.=KQq/R²
El 'R²' nos dice que en cada punto la fuerza es diferente, lo cual nos dice que la fuerza no es constante.
Entonces calculamos el trabajo como la suma de todos los trabajos que realiza en un segmento.
W_AB(F_elect.)= _A∫^BF_elect.·dr·cosα= _A∫^B KQq/X²·dr·1(supongamos que la carga se dirige en el mismo sentido que la fuerza)= [KQq/-X(la integral de  1/x², 1/x)+cte]^B_A=(-KQq/(X_A) +cte)-(-KQq/X_B+cte)=-KQq/X_B+KQq/X_A ⇒ KQq/X_A-KQq/X_B
Según lo dicho antes, la fuerza eléctrica, si es una fuerza conservativa

Hay mucha confusión con la 'fórmula':

Wnc = ∆Ep + ∆Ep

En física, dicho de un modo un poco bruto, no existe la energía potencial. Lo que existe es una función matemática que nos da el trabajo realizado por un campo conservativo cuando lo  mueve de un punto a otro del espacio. Es decir, es un 'truco' matemático para no tener que calcular trabajos (mediante integrales de camino) cuando no es necesario hacerlo porque si desplazamos la carga o masa por otro camino más fácil de calcular (entre los mismos puntos) ese trabajo es el mismo.

Por ejemplo: Los alumnos creen que un cuerpo que está a una cierta altura respecto del suelo tiene una energía potencial (de valor M·g·h) cuando lo único que indica es que si un cuerpo está a esa altura, la Tierra (el peso) tiene la posibilidad de realizar un trabajo cuando lo haga descender al suelo por cualquier camino que se siga. Ese trabajo lo podemos calcular bajándolo por la vertical y entonces el trabajo que realiza el peso es W = F·d = P·h = M·g·h. Deberíamos decir que el cambio de energía potencial es peso por altura (se relacionaría mejor las magnitudes). Es por eso que si le preguntas a alguien si se agarraría a un cable de alta tensión, la respuesta es NO. Creen que el potencial o la energía potencial mata. ¿Te mata el echo de estar en la planta 150 de un edificio?. Ahí la energía potencial es enorme. Lo que indica es que si te tiras desde el edificio hacia el suelo el trabajo que realiza sobre ti la Tierra es M·g·h y ésta la convierte en energía cinética.

Más claro. Cuando calculan la velocidad de una piedra al caer hacia el suelo desde una altura h hacen lo siguiente:

Ep(h) + Ec (h) = Ep(0) + Ec(0)

y no se dan cuenta de que lo que aplican es:

W = ∆Ec

El trabajo realizado por la Tierra es Ep(h)-Ep(0) y este trabajo se invierte en aumentar la energía cinética. Todo sale de aquí:



La diferencia de energía potencial no es una 'energía', es un trabajo (lo que permite transferir la energía de un sistema a otro). Por eso la energía potencial puede ser negativa (porque los trabajos sí pueden serlo, las energías no).

Siempre que se pueda hablar de potencial o energía potencial es porque el campo es conservativo. Son dos conceptos unívocos: Potencial (energía potencial) y campo conservativo. No hay uno sin el otro.

Debemos dejar claro que la diferencia de  potencial es el trabajo por unidad de carga o masa.
Igual que el campo es la fuerza por unidad de carga o masa.

En gravitación y suponiendo la g (campo cte) en la superficie de la Tierra, tenemos:

E (gravitatorio) = g = 9,8 N/kg
P = M·g

V (potencial respecto del suelo) = g·h
Ep (potencial respecto del suelo) = M·g·h

En electricidad:

∆V = E·d (si es cte el campo, en condensadores por ejemplo)
∆Ep = q·∆V = q·E·d

Si comparamos ambas energías potenciales vemos que la analogía es total:
M ≡ q
g ≡ E
h ≡ d

Si el campo no es cte tenemos:

V (gravitatorio desde el infinito) = -G·M/R
V (eléctrico desde el infinito) = -K·q/R

Cuando decimos que la diferencia de potencial estre dos puntos es de 1000 V (voltios), estamos diciendo que el campo realizará un trabajo por unidad de carga (columbio) de 1000 J.

El voltio es Julio/Coulombio

Todos los campos cuyas fuerza van dirigidas a un punto o un eje, son conservativos. El campo gravitatorio, el eléctrico y el elástico. No lo es el campo magnético y por tanto no se habla de potencial del campo magnético.

No, quiere decir que es lo mismo estar dentro de la cabina con campos eléctricos y gravitatorio (de valor g) que suponer que sólo hay campo gravitatorio de valor (g' = g + q·E/M)

No se podrían distiguir uno del otro. La famosa frase de la física: "Es como si ..."

Sobre la masa cargada actúan tres fuerzas en la vertical (+ hacia abajo)

∑Fy = P + Fe - T·cos α = M·g + q·E - T·cos α = M·ay (ay la cambiaré por a)

Por rotar debe haber una fuerza central (centrípeta):

Fc = T·sen α = M·ω²·R = M·ω²·L·sen α => T = M·ω²·L

Sustituyendo este valor de T en la primera ecuación:

M·g + q·E - M·ω²·L·cos α = M·a

Luego la aceleración es:

a = g + q·E/M - ω²·L·cos α

Fíjate que si hacemos el experimento en un ascensor lejos de campos gravitatorios y eléstricos (g = E = 0) entonces, para que gire con ese ángulo y velocidad angular el ascensor tendría que acelerar hacia arriba (- ω²·L·cos α), simulando, entonces, a ambos campos desaparecidos.

Gracias por la ayuda....pero lo que me deja algo intrigado es la cuestión de cómo RESOLVER EL PROBLEMA CON UN OBSERVADOR UBICADO FUERA DEL ASCENSOR   o para ser más precisos con un OBSERVADOR FIJO EN TIERRA (Sistema Inercial) pues el MOVIMIENTO DE LA PARTÍCULA PARA ESTE OBSERVADOR SERÍA HELICOIDAL      ¿O me equivoco?      Pues sería la composición o "efecto combinado" de un M.R.U.V. y un Movimiento Circunferencial.

Sin más que decirles me despido, agradeciéndoles de antemano su ayuda.  

                                                 Atentamente: Mario Rodríguez  

El problema está resuelto desde el punto de vista de un observador inercial que ve como el péndulo cónico acelera hacia abajo mientras rota. Para ver lo que quieres tenemos que sacar la ecuación del movimiento.

R = L·sen α = cte

X(t) = R·cos ω·t
Y(t) = R·sen ω·t
Z(t) = ½·a·t² (se supone que parte con Vo=0)

Supongo que esto son las ecuaciones paramétricas de un helicoide que se abre cada vez más en la dirección Z (he tomado + hacia abajo)

Las dos primeras ecuaciones lo son de una circunferencia y la del eje Z arrastra el pendulo hacia abajo con cada vez más velocidad.