Foros Ciencias Galilei

Un ejercicio muy bueno  

Una partícula de masa m1 y con velocidad v1o choca contra otra masa m2 que se encuentra en reposo, si el choque es elástico, hallar la relación de las masas: a) el choque es frontal y las masas se separan en sentidos opuestos a lo largo de la dirección de incidencia de m1. b) las partículas se separan simétricamente en relación a la dirección inicial del movimiento de la masa m1 y el ángulo entre sus direcciones de separación es igual a θ.
                                      
Respuesta:    a) m1/m2 = 1/3    b) m1/m2 = 1 + 2cosθ

Las velocidades de las bolas después del choque vienen dada por las ecuaciones (conservación de P y de la energía cinética):

V₁ = [2m₂u₂+(m₁-m₂)u₁] / (m₁+m₂)

V₂ = [2m₁u₁+(m₂-m₁)u₂] / (m₁+m₂)

Ver: choque elástico (sc.ehu.es)

Como una de ellas se encuentra en reposo u₂=0, reduciéndose las ecuaciones a:

V₁ = [(m₁-m₂)u₁] / (m₁+m₂)

V₂ = [2m₁u₁] / (m₁+m₂)

u₁= V_1o

Como dice que salen en sentido opuesto y con la misma velocidad (esto no lo dice) entonces V₁=-V₂ ⇒

[(m₁-m₂)u₁] / (m₁+m₂) = - [2m₁u₁] / (m₁+m₂)

(m₁-m₂)u₁ = -2m₁u₁ ⇒ m₁-m₂ = -2m₁ ⇒ 3m₁ = m₂ ⇒ m₁/m₂ = 1/3

Se tiene que conservar la componente x de la cantidad de movimiento:

m₁·u₁ = m₁·V·cos (θ/2) + m₂·V·cos (θ/2) = (m₁+m₂)·V·cos (θ/2)

V es el módulo de la velocidad de las dos bolas que salen simétricas respecto al eje de las x.

Como se conserva la energía cinética por ser elático el choque:

½·m₁u₁² = ½·m₁V² + ½·m₂V² = ½·V²·(m₁+m₂)

Elevando al cuadrado la primera al cuadrado:

m₁²·u₁² = (m₁+m₂)²·V²·cos² (θ/2)

Simplificando la segunda:

m₁u₁² = (m₁+m₂)·V²

Dividiendo término a término ambas y simplificando nos queda:

m₁ = (m₁+m₂)·cos² (θ/2)

de donde:

m₁ (1 - cos² (θ/2)) = m₂·cos² (θ/2)

m₁/m₂ = cos² (θ/2) / (1 - cos² (θ/2))

sabemos por trigonometría que cos² (θ/2) = ½·(1 + cos θ)

sustituyendo y operando:

m₁/m₂ = (1 + cos θ) / (1 - cos θ)

Esto no es lo mismo que la solución que propones.