Foros Ciencias Galilei

Mi duda es la siguiente:

Si derivo implícitamente estas expresiones, obtengo la que tengo al lado (si estoy equivocado, por favor, corregigme):

y = 2x               y' = 2
y² = 2x             2yy' = 2

Ahora voy a plantear lo mismo desde otra perspectiva (que creo que es la misma) pero que no me cuadra:

Si derivo ambos miembros respecto a x, la igualdad sigue manteniéndose:

d          d
--- y = --- 2x             de lo que obtengo  y' = 2
dx        dx

Pero ahora, si hago lo mismo con la segunda expresión, no sé cómo razonar para llegar a lo que me tiene que dar (con respecto al primer miembro sólo):

d
--  y² =.....       ¿cómo tengo que razonar para que me dé 2yy'...?
dx

Gracias de antemano.

Hola,


Sea     u(y) = y²

du/dx = (du/dy)·(dy/dx) = 2·y·y'     (regla de la cadena)

o dicho de otro modo:

d(y²)/dx = (dy²/dy)·(dy/dx) = 2y·y'

Me ha quedado clarísimo tal y como lo has expuesto.

Una última duda:

suponiendo que yo tenga una función así      x²+y² = 2y³
(no igualo a cero, sino que dejo los monomios así queriendo)

¿Sería correcto decir que lo que tengo que hacer para derivar implícitamente es derivar por dx dy en ambos miembros?

Es decir:

 d                      d
------  x²+y² = ------ 2y³
dx dy               dx dy

Muchas gracias nuevamente.

Hola,



No, no es lo mismo. Una cosa es derivar una función que depende de otra respecto a ésta última y otra es hacer las derivadas reiteradas respento a 'x' e 'y' (derivadas parciales).

Pongamos una esfera metálica que depende del radio y que éste dependa de la temperatura. ¿Cómo saber cómo depende el volumen respecto de la T?

dV/dT = (dV/dr)·(dr/dT)

La rapidez de cambio del volumen respecto a un cambio en la T es el producto de la rapidez de cambio del volumen respendo al radio y de éste respecto a la T.