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Mensaje 11 Ene 11, 21:54  21644 # 1



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Hola , A ver que te parece este ejercicio:

Una pelota maciza de radio r rueda sin deslizar por un plano inclinado y sube a continuación por el interior del anillo de diámetro d segun la figura:

Imagen

La altura inicial h es tal que la pelota llega al final del plano inclinado con la velocidad mínima para que llegue al punto P sin perder contacto. Sabiendo que el momento de inercia de una esfera es 2mr2/5 calcular la altura h.



En un principio intenté considerar el momento angular j y de aqui dj/dt =N :
Utilizando el punto de contacto con el suelo por eso I = I +MR2
J= I w = ( I +MR2) V/R -----> dJ/dt= N--->( I +MR2) a/R = MgRsenθ
y de aqui despejariamos la aceleración pero creo que esto no llega a ninguna parte, asi que he intentado utilizar la ley de la conservación de energia :

Ei = Ef ---> mgh = mgd + mv2/2 +Iv2/2R2 y de aqui despejar h = d+ 7/10 V2/g

pero tampoco estoy seguro si está bien planteado o no

Una tercera opción es que para que llegue al punto p , la velocidad debe ser P= Fc ---->
mg = mv2/R ----> V= (gR)½   y ahora utilizamos la ley de la conservación de energia:

mgh = mv2/2 + Iv2/2R2  y sustituimos esa velocidad que necesitamos para que llegue al punto p en la ecuación y el resultado obtenido es

h = R/2 + R2/5  un resultado la verdad muy rarito
          
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Mensaje 11 Ene 11, 22:33  21654 # 2


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Hola,

En P tiene que tener V para no perder contacto. Ahí las fuerzas cumplen:

∑Fc = N + P = m·a = m·V²/(R-r)            (centro de masas describe un círculo de radio: R-r)

La mínima velocidad para no perder contacto será cuando N = 0:

P = m·V²/(R-r)      =>    V² = P·(R-r)/m = g·(R-r)

La velocidad angular en ese punto P es V = ω·r   =>    ω = V/r

La energía cinética ahí es de traslación y rotación:

Ec(en P) = ½·m·V² + ½·I·ω² = ½·m·V² + ½·I·(V/r)² = ½·m·V² + ½·(2mr²/5)·V²/r² =

= ½·m·V² + m·V²/5 = (7/10)·m·V²

El I lo he tomado respecto del centro de masas. La V es la velocidad del mismo.

Falta añadir la energía potencial que sería h = R+(R - r) = 2R - r

Ep(en P) = m·g·h' = m·g·(2R - r)

La energía inicial sería potencial:

Ep(A) = m·g·(h + r)                  (centro de masas)

Igualando ambas (inicial y final):

m·g·(h + r) = (7/10)·m·V² + m·g·(2R - r)            sutituimos V² = g·(R-r)

m·g·(h + r) = (7/10)·m·g·(R-r) + m·g·(2R - r)

mgh = (27/10)mgR - (20/7)·mgr =  (27/10)mg(R-r)

h = (27/10)(R-r)


ImagenImagen
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Mensaje 11 Ene 11, 22:43  21655 # 3


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Hola,

Lo voy a hacer igual pero dejándolo en función de I:

½·m·V² + ½·I·V²/r² + m·g·(2R-r) = m·g·(h+r)

(V²/2)·(m + I/r²) + m·g·(2R-r) = m·g·(h+r)

(V²/2)·(m + I/r²) + 2·m·g·(R-r) = m·g·h

(m·V²/2)·(1 + I/mr²) + 2m·g·(R-r) = m·g·h

(V²/2)·(1 + I/mr²) + 2·g·(R-r) = g·h        Sustituimos V² = g(R-r)

(g·(R-r)/2)·(1 + I/mr²) + 2·g·(R-r) = g·h

h = ½(R-r)·(1 + I/mr²) + 2·(R-r)

Si fuese una polita puntual  =>  r = 0    e    I = 0

Entonces h valdría:

h = ½·R + 2·R =  (5/2)·R    que creo recordar es lo que tiene que dar para una partícula elemental.


ImagenImagen
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Mensaje 12 Ene 11, 12:18  21671 # 4


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perfecto, muy buena idea lo de comprobarlo para una particula puntual, es una idea genial, asi nos aseguramos de que no halla errores.

muchas gracias
          
       


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