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Ondas armónicas. Periodo y frecuencia. Velocidad propagación. Velocidad máxima (2ºBTO)
Foro: * Ondas-Óptica *
Autor: Ana92
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Mensaje 26 Sep 10, 20:07  19680 # 1



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La pregunta que voy a hacer a continuación es una tontería pero bueno: ¿De dónde sale la expresión de la velocidad del m.a.s.? haber si v=dy/dt, entiendo que la derivada de t sea uno por eso solo sea la derivada de "y". Pero ¿cómo hace esa derivada para que de A.ω.cos(ωt+ρο) si la derivada de un producto no es la derivada del primero en este caso de A, que sería uno y quedaría sen(ωt+ρο) por la derivada de lo otro. Por favor pueden explicarmelo paso a paso, gracias.
          
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Mensaje 26 Sep 10, 21:47  19683 # 2


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Hola,

Edito, mira antes el siguiente mensaje.

Por la ley de Newton sabemos que:

F = m·a          o lo que es lo mismo:

F = m·(dy/dt)'

F = m·(d²y/dt²) = m·y''

Pero en el caso de un resorte la F = -K·y  (ley de Hooke):

m·y'' = -K·y         =>              m·(d²y/dt²) = -K·y

La función y(t) debe tener una derivada segunda que se le parezca a ella. Eso lo cumple dos funciones: seno o coseno y la exponencial.

Proponemos como solución:

y = A·sen ω·t       con esto la derivada es:

y' = A·ω·cos ω·t           y su derivada (la segunda)

y'' = -A·ω²·sen ω·t

Sustituyendo en la ley de Newton:

-m·A·ω²·sen ω·t = -K·y = -K·A·sen ω·t

Eliminando A y el seno:

m·ω² = K

Vemos que esa ecuación se cumple si:

ω = √K/m

que como sabrás es la expresión de la frecuencia en función de la cte elástica y la masa para un oscilador.

La velocidad, que es lo que te interesa, será:

V = dy/dt = A·ω·cos ω·t =

A·ω·√1-sen² ω·t = ω·√A²-A²·sen² ω·t = ω·√A²-y² (en función de la posición)


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Mensaje 26 Sep 10, 21:51  19684 # 3


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La derivada de A·sen ω·t

es A·(sen ω·t)' = A·ω·cos ω·t

La derivada de A es cero (es cte)

La derivada de sen u   es   u'·cos u

en este caso   u = ω·t      y    u' = ω


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Mensaje 26 Sep 10, 22:13  19685 # 4


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Muchas gracias Galilei por toda la explicación, pero la pregunta era esa tontería de como sacar la derivada, pero no viene nunca mal saber de donde sale cada cosa, algo así como la esencia de toda expresión matemática jeje, y cierto no me fijé en que A era una constante, por lo que quedaría:

A.Cos(ω·t+ρο) (por la derivada de lo de dentro del coseno que es la derivada de ω·t; pues lo otro es uno, pero ¿por qué la derivada de ω·t=ω? Gracias y saludos.
          
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Mensaje 26 Sep 10, 22:53  19686 # 5


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La derivada de 4x respecto de x es 4
La derivada de ωt respecto de t es ω

El primer rollo te lo he metido porque como casi siempre no termino de leer del todo los mensajes. Lo vi después, cuando lo releí.


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Mensaje 26 Sep 10, 22:54  19687 # 6


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t que es el tiempo viene a ser la variable de la ecuacion

f(t) = ωt

f '(t) = ω . 1 t1-1

f '(t) = ω . 1 t0

f '(t) = ω
          
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Mensaje 27 Sep 10, 00:44  19694 # 7


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La derivada de 5x entiendo que es 5 porque 5 es una constante y aplicando la formula de derivada de un producto obtendríamos: 0*x+5*1=5. Pero aquí t, no es una constante por lo que no entiendo por qué no es: 1.ω+t*ω

Edito!: vale ya lo he pillado, es ω porque la velocidad angular es una constante, perdón por no haber caído antes, sabía yo que era una tontería, muchas gracias a los dos.
          
       


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