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La ley de enfriamiento de Newton dice que el cambio de la temperatura en el tiempo es directamente proporcional a la diferencia entre la temperatura requerida en un tiempo t y la temperatura inicial del medio, eso se expresa de la siguiente manera:

dT/dt=k(T-T_m)....................(1)

El signo de la constante k me lo dan las condiciones iniciales del problema. Resolviendo la ED por separación de variables tenemos:

ln(T-T_m)=-kt+C ⇒ T=T_m+Ce^kt...........(2)

Donde C es una constante a determinar.

Ahora vamos a tu ejercicio donde T_m=100 ya que el agua está hirviendo.Además, tu ejercicio nos dice que si t=0→T=20 y que si t=1→T=22, asi de (2):

20=100+C ⇒ C=-80

⇒ T=100-80e^kt

Y 22=100-80e^-k → 78=80e^k → k=ln(78/80)

Luego:

T=100-80e^t·ln(78/80)

T=100-80(70/80)^t......(3)

Ahora para hallar el tiempo que le toma llegar a T=90ºc, de (3):

90=100-80(70/80)^t → 1=8(70/80)^t →log(1/8)=t·log(70/80) → t=log(1/8)/log(70/80)≈15,5726s.

Exitos!!..