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Demuestre por inducción completa la siguiente igualdad:

5²ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺⁴+2ⁿ⁺¹ = múltiplo de 23

Espero que me puedan ayudar, saludos. :)

Francolino,
boa tarde!

Verifiquemos se a afirmativa é verdadeira quando n = 1;

5^{2n + 1} + 2^{n + 4} + 2^{n + 1} = 23q

5³ + 2⁵ + 2² = 23q

125 + 32 + 4 = 23q

161 = 23q

É verdadeira! Isto é, 23|161


Tomemos como hipótese que a afirmativa seja verdadeira para todo n = k, onde k ∈ ℕ. Com efeito, teremos:

5^{2k + 1} + 2^{k + 4} + 2^{k + 1} = 23q'

5 . 5^2k + 16 . 2^k + 2 . 2^k = 23q'

5 . 5^2k + 18 . 2^k = 23q'

Isto é, 23|[5 . 5^2k + 18 . 2^k]


De acordo com o Princípio da Indução Finita, a assertiva também é verdadeira para n = k + 1; então, segue que:




C.q.d

Att,

Daniel F.