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Mensaje 24 Jun 09, 00:25  12659 # 1



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Hola, tengo examen de álgebra básica y tengo dudas sobre como hayar los cardiales de los siguientes conjuntos de aplicaciones:

Sean los conjuntos A y B tal que card(A) = n y card(B) = m. Hayar los cardinales de los siguientes conjuntos:
a) card ({f:A→B ; f, aplicación})
b) card ({f:A→B ; f, aplicación inyectiva})
c) card ({f:A→B ; f, aplicación suprayectiva})



A mi parecer, la solucion del apartado a) es card = nm y la solucion del apartado b) es card = n!/(n-m)!, el apartado c) no hayo la forma de hacerlo.

Por favor, necesito que me digan si los apartados a), y b) están bien y como se hace el apartado c).

Muchisimas gracias de antemano.

Un saludo, Martín.
          
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Mensaje 24 Jun 09, 01:08  12662 # 2


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Hola, confundes m y n.




CARDINAL DE LAS APLICACIONES ENTRE CONJUNTOS

   Una aplicación es una correspondencia entre dos conjuntos en virtud de la cual a cada elemento del conjunto de originales se le adjudica un único elemento del conjunto de imágenes, denominado imagen.

Todas las aplicaciones que se pueden establecer de un conjunto, A, en otro, B, forman un conjunto, F. Dicho conjunto, si A y B son conjuntos finitos, es un conjunto finito y tiene un cardinal finito. Todas las aplicaciones que se pueden establecer de un conjunto, A, en otro, B, forman un conjunto, F.

Dicho conjunto, si A y B son conjuntos finitos, es un conjunto finito y tiene un cardenal finito.
El conjunto F tendrá además una serie de subconjuntos notables, a saber: el subconjunto de las aplicaciones inyectivas, el subconjunto de las aplicaciones exhaustivas y el subconjunto de las aplicaciones biyectivas.

En esta primera sección, estudiaremos estas cuestiones por ser de sumo interés para comprender la forma de contar los elementos de un conjunto ordenados en diversas disposiciones.

COMBINATORIA

1.        ¿Qué es una aplicación y cómo se establecen las relaciones en los elementos del conjunto?
       Una aplicación es una correspondencia entre dos conjuntos en virtud de la cual a cada elemento del conjunto de originales se le adjudican un único elemento         del conjunto de imágenes, denominado imagen.


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Mensaje 24 Jun 09, 01:10  12663 # 3


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CARDINAL DEL CONJUNTO DE LAS APLICACIONES

 Vamos a ver que entre dos conjuntos finitos, sean A y B, de cardinales n y m respectivamente, existe un número finito de aplicaciones que pueden ser establecidas entre ambos.

Dado un elemento de A, se le puede asignar m elementos de B.
Esto origina m aplicaciones diferentes.
Tomada una imagen para ese primer elemento de A y dado otro nuevo elemento ese conjunto, se tienen nuevamente m posibilidades de asignación de imágenes diferentes pertenecientes a B. Ello significa que para cada imagen posible del primer elemento, se tienen m nuevas posibilidades del segundo.

Dado un elemento de A, se le pueden asignar m elementos de B, para cada imagen posible del primer elemento, se tienen m nuevas posibilidades del segundo.
De momento, pues, teniendo en cuenta sólo dos elementos, hemos contado m2 aplicaciones distintas.

Fijando ahora una imagen para estos dos primeros elementos y estudiando las imágenes posibles de un tercer elemento, se ve que otra vez existen m nuevas posibilidades para cada una de las posibles combinaciones de imágenes de los dos primeros elementos.
Tendremos ya m3 opciones.

   La progresión está clara: si tenemos n elementos en primer conjunto, el número de aplicaciones posibles es mn.
Así llegamos a la conclusión de que el cardinal del conjunto de las aplicaciones que se pueden establecer entre dos conjuntos es igual al cardinal del conjunto de imágenes elevado al cardinal del conjunto de originales:
card(F(A ® B)) =
card(B)card (A)

   Vamos a calcular , como ejemplo, las maneras posibles de alojar 6 personas en un hotel cuando se dispone de 7 habitaciones.
   Se trata de una aplicación, porque una persona sólo puede alojarse simultáneamente en una sola habitación.
Nótese que mientras cada persona se aloje en una habitación, para que se trate de una aplicación, no importa que en alguna habitación haya más de una persona o no haya ninguna.
   Una vez claro que las maneras posibles de alojar las personas en las habitaciones son aplicaciones del conjunto de las seis personas en cuestión en el conjunto de las habitaciones libres, la cuestión se reduce a calcular el cardinal del conjunto de las aplicaciones posibles entre esos conjuntos.
Tenemos un conjunto imagen cuyo cardinal es 7 y un conjunto de originales cuyo cardinal es 6.
El cardinal de las aplicaciones posibles entre ambos conjuntos es, como ya se ha demostrado: 76 = 117.649.


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Mensaje 24 Jun 09, 01:13  12664 # 4


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CARDINAL DEL CONJUNTO DE APLICACIONES INYECTIVAS

   Hemos calculado el número de aplicaciones posibles entre dos conjuntos finitos siendo uno el conjunto de imágenes y otro el conjunto de originales.
Vamos a ver ahora cómo se puede hallar el número del subconjunto de las aplicaciones inyectivas establecidas entre dos conjuntos finitos dados.
Las aplicaciones inyectivas son aquellas en las que los elementos del conjunto de imágenes son como máximo imagen de un único elemento.
   Las aplicaciones inyectivas son aquéllas en las que los elementos del conjunto de imágenes son como máximo imagen de un único elemento.
Pueden no ser imagen de ninguno, pero si son imagen de alguno, sólo lo son de uno.
   Sean pues dos conjuntos A y B de cardinales n y m como en el caso anterior.
Escogido un elemento de A, podrá tener m imágenes en el conjunto B.
Una vez determinada la imagen de ese elemento, si las aplicaciones que consideramos son las inyectivas, entonces, dado un segundo elemento de A, sólo podremos asignarle m - 1 elementos de B.
   De esa manera tendremos que, para cada elección de imagen de un primer elemento, existen m - 1 posibilidades de elección para el segundo.
Contabilizaremos, para dos elementos, m · (m - 1) posibilidades.
Para cada elección de imagen de un primer elemento, existen m-1 posibilidades de elección para el segundo.

   Fijadas una imagen para los dos primeros elementos de A, al tomar un tercero, no quedarán más que m - 2 opciones y así, para cada una de las m · (m - 1) opciones de imagen de los dos primeros elementos, existirán m · (m - 1) · (m - 2) opciones diferentes.
   Esta progresión continúa hasta que se terminan los elementos del conjunto A.
Al enésimo elemento de A le restarán m - n + 1 opciones, de la misma manera que al elemento número 2 le restaban m - 2 + 1 = m - 1, y al número 3 le restaban m - 3 + 1 = m - 2.
   Por ello, está claro que el número posible de aplicaciones inyectivas de un conjunto de cardinal n en otro de cardinal m es :
m·(m-1)·(m-2)· ... ·(m-n+1)
  Así podremos escribir:
card (I(A®B)) = card(B) · (card(B) - 1)· (card(B) - 2) · ... · (card(B) - card(A) + 1)

   En el ejemplo anterior, cuando considerábamos el número posible de formas de alojar un cierto número de personas en otro de habitaciones, no tuvimos en cuenta cuestiones de intimidad.
Ahora, si consideramos que una habitación sólo puede estar ocupada por una sola persona, la aplicación toma el carácter de inyectiva.
   Cuando se aloja la primera persona del grupo, se dispone de 7 habitaciones.
Una vez alojada ésta, nos quedarán 6 habitaciones para la segunda persona.
Así que para las 7 posibilidades de alojar la primera persona, tendremos 6 para la segunda.
Luego las posibilidades de alojamiento de esas dos primeras personas serán 7 · 6 = 42.
Una vez alojadas las dos primeras personas, para la tercera quedan 5 habitaciones posibles.
Así, para cada una de las 42 posibilidades de alojamiento de las dos primeras personas, habrá 5 para la tercera.
Ello quiere decir que podremos distribuir las tres primeras personas de 7 · 6 · 5 = 210. ...
   En un hotel de 200 habitaciones, el número de las maneras posibles de alojar un grupo de 40 personas respetando su intimidad son 200 · 199 · 198 · ... · (200 - 40 + 1) = 200 · 199 · 198 ·· ... · 161.


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Mensaje 24 Jun 09, 01:18  12665 # 5


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CARDINAL DEL CONJUNTO DE APLICACIONES EXHAUSTIVAS

   Son aquéllas en las que todos los elementos del conjunto de imágenes son imagen de al menos un elemento del conjunto de originales.
Para que se trate de una aplicación, el número de elementos del conjunto de originales debe ser mayor o igual que el conjunto de imágnes.
Para que se trate de una aplicación, el número de elementos del conjunto  originales debe ser mayor o igual que el conjunto de imágenes, porque si no, no podría tratarse de una aplicación.
  En el caso de que sea igual, ocurre que la aplicación es biyectiva ya que una aplicación exhaustiva entre conjuntos de igual número de elementos debe ser inyectiva, porque de lo contrario, la correspondencia no podría ser considerada una aplicación.
Vamos a dirigir nuestra atención al conjunto de las aplicaciones exhaustivas tales que cada elemento del conjunto de imágenes es imagen de un determinado número fijo de elementos del conjunto de originales.
   Dados dos conjuntos A y B cuyos cardinales son n y m, siendo n mayor que m, designemos los elementos del conjunto B como b1, b2, b3, ..., bm y adjudiquemos a cada bi un cierto número de originales ki de los que es imagen por una cierta aplicación.
Así b1 será imagen de k1 originales, b2, de k2, hasta llegar a bm, que será imagen de km originales.
   Si imaginamos, para facilitar las cosas, que desdoblamos cada elemento bi en ki elementos de la forma: bi1, bi2, bi3, ..., bi ki y construimos así un conjunto B’, nos daremos cuenta de que la aplicación se nos ha transformado en biyectiva por tener B’ tantos elementos como A y ser en principio exhaustiva.
   El número de aplicaciones exhaustivas se sigue del de las biyectivas: será igual al número total de las biyecciones posibles de A en B’ dividido por el número de biyecciones especiales establecidas según el criterio en virtud del cual se ha fijado el número de originales del que cada elemento de B es imagen.
   Dicho cardinal será:
    n!
------------------------
k1!·k2!·k3!· ... ·km!

siendo n = k1+k2+k3+ ... +km

    Consideremos ahora los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {a, b, c} donde se establecen todas las aplicaciones exhaustivas tales que el elemento a de B sea imagen de tres elementos de A, el elemento b de B sea imagen de dos elementos de A y el elemento c de B sea imagen de un elemento de A.
   Una aplicación de este tipo puede ser: {(1, a), (2, a), (3, a), (4, b), (5, b), (6, c)}
   Si ahora desdoblamos a en a1, a2, a3; b en b1, b2 quedando c igual, tendremos un nuevo conjunto B‘={a1, a2, a3, b1, b2, c} y la aplicación anterior será equivalente a :
{(1,a1), (2, a2), (3, a3), (4, b1), (5, b2), (6, c)}
que es biyectiva.
   Las biyecciones de
A1 = {1, 2, 3} en B’1 = {a1, a2, a3} son 3 ! = 6
A2 = {4, 5} en B’2 = {b1, b2} son 2 ! = 4
A3 = {6} en B’3 = {c} son 1 ! = 1
El número de aplicaciones exhaustivas se sigue del de las biyectivas   
Por ello, el número de las aplicaciones exhaustivas de A en B, de forma que:
a) sea imagen de 3 elementos de A,
b) de 2 elementos de A
c) de un elemento de A, será igual al número de biyecciones posibles de A en B’, dividido por el número de biyecciones entre los subconjuntos de A en B’ de tres elementos, por el número de biyecciones entre los subconjuntos de A y B’ de dos elementos, por el número de biyecciones entre los subconjuntos de A y B’ de un elemento.
   Luego el número de aplicaciones exhaustivas formadas según la restricción anterior es:
   6!
------------= 60
 3!·2!·1!

CARDINAL
1.        ¿Qué son las aplicaciones inyectivas?
       Aquellas en las que los elementos de conjuntos de imágenes son como         máximo imagen de un único elemento
2.        ¿Por qué se distinguen las aplicaciones biyectivas?
       Por ser aplicaciones inyectivas y exhaustivas a un tiempo.


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Mensaje 24 Jun 09, 01:31  12666 # 6


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CARDINAL DEL CONJUNTO DE APLICACIONES BIYECTIVAS

   Las aplicaciones biyectivas se distinguen por ser aplicaciones inyectivas y exhaustivas a un tiempo.
Ello quiere decir que el subconjunto de las aplicaciones biyectivas es la intersección de las aplicaciones inyectivas con el subconjunto de las aplicaciones exhaustivas.
Por ello, la propiedad que defina los elementos pertenecientes a este subconjunto que ahora nos ocupa debe estar compuesta de las propiedades que definen los elementos del subconjunto de las aplicaciones inyectivas con el subconjunto de las aplicaciones exhaustivas.
Toda aplicación biyectiva es una aplicación inyectiva entre conjuntos de igual número de elementos.

   Sabemos ya que toda aplicación biyectiva es una aplicación inyectiva entre conjuntos de igual número de elementos.
Entonces, con este resultado, considerando que el conjunto de las aplicaciones biyectivas es el mismo conjunto que el de las aplicaciones inyectivas entre conjuntos de igual número de elementos, para hallar el cardinal de ese conjunto no tenemos más que aplicar a este caso particular el método descrito en el apartado anterior según el cual:
card(I(A®B)) = card(B)· (card(B) - 1) (card(B) - 2) · ... ·(card(B) - card(A) + 1) =
= card(I(A®B)) = card(B) ·(card(B) - 1) (card(B) - 2)· ... · (card(B) - card(B) + 1) =
= card(I(A®B)) = card(B)· (card(B) - 1) (card(B) - 2) · ... ·1 = card(B) ! = card(A) !

   Si A y B poseen el mismo número de elementos, pongamos n, entonces el número de aplicaciones biyectivas que podemos establecer entre ambos es n!, que como ya se ha visto en otras ocasiones se lee: «n factorial» e indica el producto de:
n · (n - 1) · (n - 2) · ... ·1 = n!

Referencia:
Aplicaciones y combinatoria (olivella.org)


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Mensaje 24 Jun 09, 01:42  12667 # 7


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Muchísimas gracias, me ha quedado todo muy claro. Resulta que el apartado a) y b) los tengo bien, a) nm y b) m·(m-1)·(m-2)· ... ·(m-n+1) = n!/(n-m)!.
Y la solución del apartado c) sería n!/k1!·k2!·k3!· ... ·km! con n = k1 + k2 + ... + kn

¿cierto? Pero hay una cosa que no me queda clara de las alicaciones suprayectivas y es lo siguiente:

Sea f: A→B con card(A) = m y card(B) = n, para que sea suprayectiva el conjunto imagen al que llamaremos Im(A) debe de estar contenido en B y además por se suprayectiva Im(A)=B, por tanto tal como lo veo yo, m tiene que ser mayor que n para que pueda ser suprayectiva.

Se escribió ... :
"Dados dos conjuntos A y B cuyos cardinales son m y n, siendo n mayor que m. (CARDINAL DEL CONJUNTO DE APLICACIONES EXHAUSTIVAS)"


Corrigeme si me equivoco.

Muchísimas gracias de nuevo
          
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Mensaje 24 Jun 09, 01:53  12669 # 8


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Cita:
"Muchísimas gracias, me ha quedado todo muy claro. Resulta que el apartado a) y b) los tengo bien, a) nm y b) m·(m-1)·(m-2)· ... ·(m-n+1) = n!/(n-m)!."


Card (A) = n
Card (B) = m

Yo creo que confundes m y n. La solución para al primer apartado es mn (no nm) y para el segundo:

m!/(m-n)!

Revísalo por si yo estuviera confundido.


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Mensaje 24 Jun 09, 02:02  12670 # 9


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Citar:
Sea f: A→B con card(A) = m y card(B) = n, para que sea suprayectiva el conjunto imagen al que llamaremos Im(A) debe de estar contenido en B y además por se suprayectiva Im(A)=B, por tanto tal como lo veo yo, m tiene que ser mayor que n para que pueda ser suprayectiva.

Se escribió ... :
"Dados dos conjuntos A y B cuyos cardinales son m y n, siendo n mayor que m. (CARDINAL DEL CONJUNTO DE APLICACIONES EXHAUSTIVAS)"


Yo creo que es un error de impresión porque en todos los apuntes llama cardinal de A a n y de B a m. Lo he cambiado en el texto. Revísalo ahora de nuevo.


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Mensaje 24 Jun 09, 02:50  12671 # 10


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Sí, es cierto, debe ser un error de impresion. Y gracias, si lo puse al reves todo desde el principio card(A) = n y card(B) = m, en realidad en mi hoja de ejercicios pone card(A) = m y card(B) = n, jeje, también me ha pasado a mí, tengo que tener cuidado con estas cosas y no cambiar los datos del problema a mi gusto jejeje, muchas gracias de nuevo
          
       


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