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Mensaje 23 Feb 08, 10:04  4544 # 1



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Univérsitas Amig@

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______________________
Hola!!

me   estoi  iniciando en  estos   temas, me  gustaría  si me puedes  ayudar en el sgte.  ejercicio:

Demuestre  usando induccion que:

F(n) : 72n +16n -1  es  divisible  por  64, es verdadera ( ∀ n; n∈IN)

Gracias!
          
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Mensaje 23 Feb 08, 14:04  4545 # 2


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Nivel Estudios: Licenciad@
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Ciudad: Marbella (Málaga)
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______________________
Para probar una cosa por inducción, hay que probarla para:

n=1
n=2
.....

suponer que es cierta para n y con esto probar que es cierta para (n+1)

En nuestro caso:

n=1 ⇒ F(1) = 1·64
n=2 ⇒ F(2) = 38·64
n=3 ⇒ F(3) = 1839·64
n=4 ⇒ F(4) = 90076·64

ahora suponemos que es cierto que F(n) = 22n+16n-1= K·64 (con K entero)
Debemos demostrar (basándonos en lo anterior) que:

F(n+1) = 22(n+1) +16(n+1)-1 = K'·64 (con K' entero)

Creo que la clave está en sacar el término general de la suscesión: 1 , 38, 1839 , 90076 , ... para probar que F(n+1)=K'·F(n) suponiendo que es cierto que F(n)=K·64

Estoy en ello...


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Mensaje 23 Feb 08, 20:52  4552 # 3


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______________________
Suponemos que es cierto para n-1

72(n-1) + 16(n-1) - 1 = M64  Pongo M64 para indicar un multiplo cualquiera de 64

Desarrollamos:

72n / 72 + 16n -16 -1 = M64. Quitando denominadores

72n + 49*16n -49*16 - 49 = M64

72n + 16n(48+1) - 17*49 = M64

72n + 16n + (16*4n)*12 - 17*49 = M64

72n + 16n = M64 - (M64)*12 + 17*49

72n + 16n -1 = M64 - M64 + (833 - 1)...... 832= 13*64===> M64

72n + 16n -1 = M64

Luego hemos demostrado que si es cierto para n-1 tambien es cierto para n.

Veamos si se cumple para n = 2

49 + 16 - 1 = 64. Por lo tanto si es cierto para 2 tambien lo es para 3 y tambien para 4 etc...

Luego es cierto para cualquier valor.

En realidad la demostracion se hace partiendo de que es cierto para n y se comprueba que entonces tambien lo es para n+1. Luego se comprueba para n=1 etc. No se porque lo hice partiendo de n-1 y llegando a n. Bien, tanto me da que me da lo mismo.

Saludos
          
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Mensaje 23 Feb 08, 21:25  4554 # 4


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Univérsitas Amig@

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Muchísimas,  pero   muchísimas   gracias!!!!!

Como   estoy  comenzando, me costó un poco  entenderlo,  sobre todo  algunos  pasos  que  se obviaron, además  estaba  acostumbrado  a  verificar con  n = 1,  luego  con  n = k  y   finalmente con  n = (k+1),  como  lo  enseñan  en  todos los  libros, pero  finalmente  logré  entender  todo  a   la  perfección.

Realmente  estoy  muy agradecido,  he  aprendido  bastante con esta página! :wink:
          
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Mensaje 23 Feb 08, 21:38  4555 # 5


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Es lo mismo suponer cierto para n y probarlo para n+1 que suponer cierto para n-1 y probarlo para n. Lo que quiere decir es que si es cierto para un determinado término, es cierto para el siguiente.


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