Foros Ciencias Galilei

integre f sobre la región dada

Triangulo: f(x,y)= x²+y² sobre la región triangular con vértices (0,0) ;(1,1) y (0,1)

Vamos a ver. A mi lo que mas me cuesta es escribir la solucion en el ordenador, de forma que si resolver un problema me lleva cinco minutos, el escribirlo me puede llevar media hora o mas, asi que a lo mejor me tomo alguna licencia.

Nos piden que calculemos una integral doble, extendida a un recinto de integracion.

∫∫ (x² + y²) dx dy. Ahora vamos a poner el recinto en funcion de x e y. Si te fijas verás que está limitado por tres rectas, de ecuaciones x=0 (eje vertical) y=1, y "x=y" (recta que une los puntos (0,0) y (1,1).

Tenemos que fijar los limites de integracion para que se cumpla que la integral se extiende solamente a ese recinto. Como es una integral doble deberemos ingtegrar respecto a una variable, considerando la otra constante, y luego respecto a la otra. Vamos a empezar por integrar con respecto a x, es decir considerando la y constante.

Que la y sea constante indica que nos estamos refiriendo a una recta horizontal en la cual solo varia y. Si trazas una horizontal cualquiera en el recinto que tenemos verás que la x va desde la recta x=0 hasta la recta y= x por lo que los limites de integracion seran 0 e y (x varia desde 0 hasta y).

Veamos los otros limites de integracion. Hemos hecho variar la x entre 0 e y y eso supone una linea recta horizontal. Para que se extienda a todo el recinto ahora deberemos hacer variar la y de modo que barra toda la zona y eso lo conseguimos haciendo que la recta que hemos obtenido varíe entre la linea y=0 (eje horizontal) y la recta y=1 (tambien horizontal).

Con esto conseguimos que la funcion se extienda a todo el recinto que es de lo que se trataba. Ahora ya tenemos los limites de las integrales y pondremos:

( Ahora, para no eternizarme voy a utilizar una simbologia propia, con permiso del moderador. Llamare I{a,b} a la integral definida entre los limites a y b) es decir:
 b
∫ F(x,y) = I{a,b}F(x,y)
a

Poniendo los limites a la integral propuesta quedará: I{0,1}I{0,y}(x²+y²)dxdy. Lo primero que podemos hacer, ya que es la integral de una suma, es descomponerla en suma de integrales, es decir

I{0,1}I{0,y}(x²+y²)dxdy = I{0,1}I{0,y}x²dxdy + I{0,1}I{0,y}y²dxdy.

La primera: I{0,1}I{0,y}x²dxdy =  I{0,1}dy I{0,y}x²dx = I{0,1}dy*[x³/3]entre 0 e y =  I{0,1}dy*y³/3 = 1/3  I{0,1}y³dy = 1/3 y⁴/4 = 1/3*1/4 = 1/12

La segunda: I{0,1}I{0,y}y²dxdy = I{0,1}y²dyI{0,y}dx =  I{0,1}y²dy*y =  I{0,1}y³dy = y⁴/4 = 1/4

Agrupando I{0,1}I{0,y}(x²+y²)dxdy = 1/12 +1/4 = 1/3

Gustavor, tu correo da error y devuelve los avisos. Deberías cambiarlo por otro.