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I = ∫2x·arctg x dx

-Hola, Cris.
Para funciones mezcladas multiplicándose, el método de "por partes":

Sea I = ∫2x·arctg x dx
                                          1
        u = arctg x    =>  du = ------ dx                                                                               1
Sea                                     1+x²              => ∫u·dv = u·v - ∫v·du => I = arctg x · x² - ∫x² ------- dx
       dv = 2x          =>  v = x²                                                                                         1+x²
                                                                     x²  
Hemos convertido I en racional. Llamamos I₁ = ∫ ------- dx , así que por ahora es I = x² · arctg x - I₁
                                                                   x²+1

La I₁, por ser racional con igual grado en numerador que en denominador, puede operarse fuera del signo integral así:

  x²           |  x²+1                                                                                             -1   
                |_________________            Sea D/d = C+R/d, entonces x2/(x2+1) = 1 + -------  
 -x² -1           1                                                                                                x²+1
--------
      -1
                               1
Entonces I₁ = ∫ (1 - -----  ) dx = x - arctgx
                            1+x²

Recopilando todo: I = x² · arctgx - (x - arctgx ) + C = x² · arctgx -x + arctg x + C = (x²+1) · arctg x  - x + C

Si te han quedado dudas, porfa dilo.
¡Hale, venga!