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Calcular la integral:

I = ∫sen² (x)·dx

Hola

Esta integral se puede hacer por partes:

u = sen x          du = cos x dx

dv = sen x dx     v = -cos x

I = ∫sen x·sen x·dx = u·v - ∫v·du = -cos x·sen x + ∫cos² x dx

Cambiamos cos² x = 1 - sen² x

I = ∫sen x·sen x·dx = -cos x·sen x + ∫(1 - sen² x)dx = -cos x·sen x + ∫dx - ∫sen² x·dx

= -cos x·sen x + x -∫sen² x·dx = -cos x·sen x + x - I

Pasando I al primer miembro:

2I = x - cos x·sen x = x - ½·sen 2x        (ya que sen 2x = 2·sen x·cos x)

I = ½·x - (1/4)·sen 2x + cte.



También se puede hacer cambiando:

sen² x = ½ - ½·cos 2x            (Identidad trigonométrica - ángulo mitad)

∫sen² x dx = ½·x - (1/4)·sen 2x + cte