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Mensaje 05 Dic 10, 19:14  20813 # 1



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______________________
Hola, tengo problemas al resolver dos integrales indefinidas:

           sen² x dx
∫ ---------------------------- =
    (sen³ x + cos³ x )·cos x


∫   √(x² - a²)/x  dx


¿Podrían decirme cual es la solucion y como han llegado a ella, es decir, las sustituciones o los métodos de resolucion de integrales que han utilizado? La primera la he intentado resolver por sustitucion y no me ha salido y la segunda, directamente no sé por dónde empezar. Muchas gracias por todo.
          
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Mensaje 05 Dic 10, 20:39  20814 # 2


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______________________
La primera no entedí bien tu integral, para nada.

En la 2da se entiende.

∫ √x² - a² dx
  -----------
        x

Cuanto tienes esto, puedes aplicar el método de sustitución trigonométrica y si te das cuenta tienes en la raiz 2 números cuadrados, entonces aplicas lo siguiente

1) √a² - x² = a * sen θ
2) √a² + x² = a * tan θ
3) √x² - a² = a * sec θ

Si te das cuenta tu integral se parece al inciso (3)

Entonces usaremos una de esas...  ahora iniciémos.

x = a * sec θ
dx = a * sec θ tan θ dθ
x² = a² * sec² θ --------------> Esto lo pondré porque nos servirá, sólo elevé al cuadrado todo.

ahora reemplazemos en lo que se integrará lo que tenemos.
    ____________
∫ √ a² sec²θ - a²    a sec θ tan θ dθ
  ---------------------------------
                    a sec θ

en la raiz se puede factorizar lo siguiente
 _______________
√ a² ( sec² θ - 1)      pero si te das cuenta es una identidad trigonométrica [ sec² θ - 1 = tan² θ ]

reemplazando

  ________
√ a² tan² θ = a tan θ

entonces esto ya quitamos la raiz.

∫ a tan θ [ a sec θ tan θ dθ ]
-----------------------------
            a sec θ

pero podemos eliminar lo que está de rojo...

Ahora tenemos lo siguiente

∫ a tan θ tan θ dθ = a ∫ tan² θ dθ

pero si te das cuenta

tan² θ = sec² θ - 1  --------> entonces -------> a ∫ sec² θ - 1 dθ = a ∫ sec² θ dθ - a ∫ dθ

pero la integral de la secante al cuadrado es tangente, y la integral de dθ es teta entonces.

a tan θ - aθ + C

ahora recuerda que todo está expresado en términos de θ pero la original es en términos de "x" entonces lo regresamos, pero θ es un ángulo de un triángulo rectángulo...

al principio teniamos x = a sec θ
                              x
despejando sec θ  = ----
                              a

y despejando  θ

θ = Arc Sec ( x / a)

la hipotenusa es = x
el cateto adyacente = a
el cateto opuesto = √x² - a²

entonces reemplazando en nuestro resultado de la respuesta de la integral en términos de θ

a √x² - a²
----------- - a Arc Sec (x / a) + C
       a

Esto queda

√x² - a² - a Arc Sec (x/a) + C


Listo, eso es todo... fácil


          
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Mensaje 05 Dic 10, 22:36  20816 # 3


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Muchísimas gracias por la resolución, no tenía ni idea de qué sustitución utilizar y, de hecho, en mis apuntes no tenía ninguna sustitución de ese tipo, mil gracias.

Respecto a la primera integral, es esta:

              sen²(x)
∫        --------------------------------          dx             
            (sen³(x)+cos³(x))·cos(x)                                                                      

se me había ocurrido el cambio sen(x)= 2·t / (1+ t²)  y  cos (x) =(1-t²) / (1+t²) y dx= 2·dt/(1+t²), pero al final no llego a un resultado que me permita hallar la primitiva de la integral. Gracias por adelantado a quien me ayude :)
          
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Mensaje 05 Dic 10, 23:31  20825 # 4


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Citar:
se me había ocurrido el cambio sen(x)= 2·t / (1+ t²)  y  cos (x) =(1-t²) / (1+t²) y dx= 2·dt/(1+t²), pero al final no llego a un resultado que me permita hallar la primitiva de la integral. Gracias por adelantado a quien me ayude :)


Pues creo que ese es un buen cambio para hacer esta integral.  :think:


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Mensaje 06 Dic 10, 00:40  20828 # 5


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Está medio compleja, porque sin embargo yo miro ahi la integral por fracciones parciales después de todo.

pero no sabría como hacerle.


          
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Mensaje 06 Dic 10, 00:55  20829 # 6


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He realizado de nuevo el ejercicio aplicando el cambio dicho arriba y se pueden simplificar algunas cosas, pero aun así me queda una integral que no se resolver:

                 2 t²
∫ ----------------------------------      2 dt  
       (( 2t)³+(1-t²)³ )  · (1-t²)
        -------------------------
            1+t²

¿alguna idea?¿o he eliminado terminos que no deberia haber eliminado?
          
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Mensaje 06 Dic 10, 01:10  20830 # 7


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.            sen² x dx
∫ ---------------------------- =
    (sen³ x + cos³ x )·cos x

          sen x·sen x dx
∫ ---------------------------- =
  (sen³ x + cos³ x )·cos x

          sen x·tg x dx
∫ --------------------- =
   (sen³ x + cos³ x )

Dividimos por cos³:

     tg² x·(1/cos² x) dx
∫ --------------------- =
       (tg³ x + 1 )

En numerador es la derivada del denominador:

             3·tg² x·(1/cos² x) dx
(1/3) ∫ ----------------------- =
                 (tg³ x + 1 )

= (1/3)·Ln (tg³ x + 1 ) + Cte


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