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Hola.

He estado haciendo unas integrales y la verdad no veo cómo hacer esta, agradecería quien me ayudara..gracias!!.

∫dx/(4senx+5)

La respuesta, según Maple es: 2/3[arctan(5/3*tan(1/2*x)+4/3)]+C

Hola,

Esta integral sale haciendo el cambio:     (pg 18)

t = tg x/2    =>   sen x = 2·t/(1 + t²)      ;     dx = 2·dt/(1 + t²)

    dx                    2·dt
------------ = ----------------------- =
4·sen x + 5                    4·2·t
                   (1 + t²)·( ------- + 5)
                                 (1 + t²)

   
                  2·dt                                  2·dt                       2·dt
= ----------------------------- = -------------------- = --------------- =
                 8·t      5·(1 + t²)          8·t + 5·(1 + t²)           5·t² + 8t + 5
(1 + t²)·( ------- + ---------)
              (1 + t²)    (1 + t²)


Las raíces de 5·t² + 8t + 5 = 0   son   -4/5 ± 3/5 i   (compleja)

           2·dt                                 2·dt
= ---------------------- = ----------------------
   5·[(t + 4/5)² + 9/25]          5·(t + 4/5)² + 9/5

Multiplicando (numerador y denominador) por 5/9 para reducir a 1 el 9/5:

             2·(5/9)·dt
= ---------------------
   [5/3·(t + 4/5)]² + 1

Como la derivada de [5/3·(t + 4/5)]  es 5/3, escribimos el numerador de forma que salga la derivada ahí:

                    5/3·dt
= (2/3) · --------------------- =
              [5/3·(t + 4/5)]² + 1

La fracción es un arcotangente de [5/3·(t + 4/5)]

= (2/3)·arctg [5/3·(t + 4/5)] =

Desaciendo el cambio, como t = tg x/2 :

= = (2/3)·arctg [5/3·(tg ½·x + 4/5)] + Cte

Cambio:

tg x/2 = t

              1 - cos x
tg² x/2 = ------------
              1 + cos x

(1 + cos x)·t² = 1 - cos x

t² + t²·cos x = 1 - cos x

cos x·(1 + t²) =  1 - t²     =>      cos x = (1 - t²)/(1 + t²)

sen x = √1 - cos² x = 2·t/(1 + t²)



tg x/2 = t

dt = ½·(1 + tg² ½x)·dx      =>     dx = 2·dt/(1 + tg² ½x)  =  2·dt/(1 + t²)

Qué porqueria de integral..he estado haciendo unos trabajos de gente de Ingenieri Civil y tengo las integrales hasta el cogote..