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Mensaje 03 Mar 10, 19:23  16695 # 1



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Hola, ando calculando volumenes y la verdad es que me entero mas bien poco. Por empezar por algun lado, me dan unos limites de integracion de una integral triple:

0 ≤ x ≤ 1
0 ≤ y ≤ x
x²+² ≤ z ≤ 2

Y ahora, no se muy bien para que, el profe cambia de limites, y los tranforma a:
0 ≤ x≤  1
X² ≤ z ≤ 2
0 ≤ y ≤ mín{x,√(z-x²)}


Una vez pensado los limites hace la integral.

Y despues (debe estar comprobando algo, porque si no no entiendo):
0 ≤ y ≤ 1
≤ z ≤ 2
y ≤ x ≤ mín{√(z-y²),1}

Vuevle a hacer la integral


Entiendo la parte azul, apartir de ahi me pierdo. Ademas, no se muy bien para que/porque cambia los limites.


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Mensaje 04 Mar 10, 03:51  16738 # 2


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Boli, mañana repaso esto. Mientras mira:

Integrales triples



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Mensaje 07 Mar 10, 15:22  16826 # 3


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Muchas gracias por tu atencionnn ::D: , ando un poco pez.

Entonces cuando cambiamos los limites es para escribir la integral de otra forma, y lo que hacemos es proyectar la funcion sobre los otros dos planos. Pues me acabo de enterar, y no recuerdo que lo haya mencionado el profe.
D1 sera el plano XY
D2 → XZ
D3 → YZ
¿no?

Los limites que te dan en primer lugar, en este caso:
0<x<1
0<y<x
0<z<y
que plano estudian? o simplemente es una forma de definir la funcion (lo pregunto porque luego hace cambios de limites en los tres planos).



P.D.: Aun no me explicaron las coordenadas cilindricas.


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Mensaje 08 Mar 10, 02:55  16867 # 4


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Vamos a ver si te ayudo con una imagen gráfica para que comprendas en qué se basa el procedimiento.

Imagínate que estamos en una habitación rectangular de largo x = 10 y ancho y = 5.

En el suelo pintamos unas cuadrículas (rayas horizontales y verticales) de 1 cm² de superficie. Las rayas están separadas 1 cm.

Para calcular el área podríamos hacer:

A = ∫∫dx·dy = ∫(∫dx)·dy

dx y dy representan el largo y ancho de cada cuadrícula. Temenos que sumar el área de todas ellas. Las x desde 0 a 10 y las y desde 0 hasta 5  (esta sería la región:  0≤x≤10   0≤y≤5)

       5 10           5   10         5               5               5
A = ∫(∫dx)·dy = ∫[x]·dy  =  ∫10·dy = 10·∫dy  = 10·[y] = 10·5 = 50
    0  0             0   0         0                0                0

Hay veces que la y depende de x entonces se integra desde 'yo' hasta y=f(x) o viceversa.

Bien pero esto no es lo que estábamos buscando, buscábamos calcular el volumen de algo.

Pongamos en el suelo una tabla que esté apoyada a lo largo del eje x y que se levante un cierto ángulo, esto podría ser el techo de una guardilla (tejado inclinado).

La altura del techo dependerá de en qué cuadrícula estemos. Si no supiéramos matemáticas haríamos lo siguiente:

Cogeríamos palos de base cuadrada de 1 cm² muy largos y graduado a lo largo en cm. Cada rayita del palo sería un cm³.  En cada cuadrícula pondríamos uno y lo cortaríamos en el punto en el que toca el techo. Llenaríamos todas las cuadrículas de palos de distinta longitud en función de la 'x' y la 'y' que ocuparan. Esa sería una función del tipo: z (altura) = 3y  (en este caso no depende de 'x'). Sacaríamos todos los palos y sumaríamos el volumen de cada uno de ellos. En realidad eso es lo que hacemos con las integrales tiples.

La altura del techo es cero cuando y=0 y se eleva linealmente (plano) hasta los 15 m cuando y= 5. El volumen sería: (1/2)·5·10·15 = 375.

Vamos a hacerlo utilizando las mates. Recuerda que la altura del techo depende de 'y'.

                                                                 5                           5
∫∫∫ dx·dy·dz = ∫(∫(∫dz)dy)dx = ∫(∫z·dy)dx = ∫(∫(3y)dy)dx = ∫[3y²/2]  dx  =
                                                                0                            0
10                         10                 10
∫[75/2]·dx = (75/2)·∫dx = (75/2)·[x] = 750/2 = 375
0                          0                   0

La región sería:   0 ≤ x ≤1 0     0 ≤ y ≤ 5   0 ≤ z ≤ 3y

Ya sé que las cosas no siempre son igual de fáciles ya que en este caso la z sólo depende de y y no de x y además y no depende de x.

Puedes imaginar pintar en el suelo una parábola que parta de (0,0) que tenga por ecuación y = x²   y que si miras desde un punto (x,y) hacia arriba verás que al altura puede ser z = √x²+y² (cúpula de las iglesias). El problema sigue siendo el mismo sólo que ahora:

x
y= f(x)
z = g (x,y)

0≤x≤10    0≤y≤x²      0≤ z ≤ √x²+y²   (Región)

Esto afecta a los límites de integración y a las integrales claro. Pero el asunto es saber el volumen de cada palo en función de su longitud, que depende de (x,y)

Espero que esto te sirva para intentar razonar los problemas de este tipo que, la verdad, no siempre son fáciles.


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Mensaje 09 Mar 10, 00:41  16921 # 5


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Lo has explciado muy bien, y de forma escrita.
Lo entiendo mejor, pero no del todo, y el profesor parece que tiene prisa. Entiendo en dos dimensiones, pero cuando llego a la 3ª me pierdo. Entiendo el primer ejemplo, el segundo tambien, pero en el tercero me pierdo, porque no se porque los limites de la y es x². Creo que es porque no lo visualizo bien, he pintado la funcion con Maple y con el wolfram, pero los ejes hace que no la entienda bien. Aun asi seguire trabajando sobre lo que me has dicho.

Muchas gracias por tu tiempo.  ::):


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Mensaje 09 Mar 10, 03:39  16940 # 6


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Intenta escribir la integral completa, con el desarrollo. Si quieres puedes escanearlo para que te sea más fácil. A ver si te puedo ayudar.


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Mensaje 11 Mar 10, 21:18  17011 # 7


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Perdon por tardar, tenias que hacer dos malditos informes, y no tengo tiempo ni para mirarme calculo.
Voy a pasar del ejemplo que puso y voy a ir directo a los ejercicios, quizas con la practica lo vaya cogiendo mejor. Gracias


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Mensaje 20 May 10, 10:04  18469 # 8


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______________________
Yo retomo este mensaje. He estado haciendo unos ejercicios de esto y hace muuchisimo tiempo no hacia una ntegral triple y ahora tengo problemas para los limites, en especial con estos ejercicios:

1-Exprese la integral ∫∫∫Ef(x,y,z)dV como una integral iterada en 6 formas distintas, donde E es el sólido de bordes definidos por las superficies:

*x²+y²=4, y=0, y=6
*9x²+4y²+z²=1

2-Calcule la masa del solido cuya densidad es ρ=4 de la región E dada por z=1-y²,x+z=1, x=0 y z=0.

Para este ultimo he hecho esto:
     1 y² 1-x
m=4∫ ∫  ∫dzdxdy
   -1 0  0

Podrían ayudarme en estos ejercicios?. Claro, con lo de los limites de integracion..creo que me oxidé..u_u..Gracias!.


Dios dijo: ∇·E=ρ/ε0 ; ∇·B=0 ; ∇xE=-dB/dt ; ∇xB= μ0ε0dE/dt..y la luz se hizo..!!.. :bach:
          
       


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