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Hola, me podrían ayudar con este ejercicio?.

Un alambre de densidad constante k tiene la forma lxl+lyl=a. Encuentre el momento de inercia respecto al eje Y y al eje z.

Desde ya muchas gracias!!..

Hola Jorge.

Respecto del eje Z:



El momento de inercia de una varilla, tomando un eje que pase por su cento es:

I = (1/3)·M·L²

Momento de inercia varilla (sc.ehu.es)

En la figura:

L = √2·a

d = (√2/2)·a

Luego el momento respecto del centro de la varilla es:

I = (1/3)·M·(√2·a)² = (2/3)·M·a²

Aplicando Steiner respecto de un eje paralelo (O) cuya distancia al centro de la varilla es d =  (√2/2)·a:

I = (2/3)·M·a² + M·d² = (2/3)·M·a² + (1/2)·M·a² = (7/6)·M·a² = **

Como son cuatro varillas simetricamente colocadas respecto de O:

It = 4·I = (14/3)·M·a²

k = M/L     =>   M = k·L = √2·k·a

** = (7/6)·(√2·k·a)·a² = (7·√2/6)·k·a³  kg·m²

Respecto del eje X o Y:

El momento de una varilla respecto del eje X:

dm = k·dl

I = ∫y²·dm = k·∫y²·dl = **

La longitud de una curva, f(x), viene dada por dl = √(1+f'²(x)) que en nuestro caso (la recta es f(x) = y = a - x) es:

dl = √(1+f'²(x))·dx = √(1+1)·dx = √2·dx

** = k·∫y²·√2·dx = √2·k·∫(a - x)²·dx

= √2·k·∫(a² - 2·a·x + x²)·dx = √2·k·(a²·x - a·x² + x³/3)   entre 0 y a:

√2·k·(a³/3) = (√2/3)·k·a³

Al ser cuatro varillas:

It = 4·I = (4·√2/3)·k·a³