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Si f es continua para todo x que ∈ R hallar el valor de f(x) y la constante C de:

_{x            1}
∫ f(t) = ∫t²·f(t)·dt + x¹⁶/8 + x¹⁸/9 + C
^{0            x}

Hola.

En principio yo aplicaría el teorema fundamental del cálculo (wiki):

_{x            1}
∫ f(t) = ∫t²·f(t)·dt + x¹⁶/8 + x¹⁸/9 + C
^{0            x}

Derivando a ambos lados:

f(x) = - x²·f(x) + 2·x¹⁵ + 2·x¹⁷

f(x)·(1 + x²) = 2·(x¹⁵ + x¹⁷)

         2·(x¹⁵+ x¹⁷)       2·x¹⁵(1 + x²)
f(x) = -------------- = ------------- = 2·x¹⁵
           (1 + x²)             (1 + x²)

Ahora sustituimos en la ecuación primera:

_{x            1                                                1}
∫ 2·t¹⁵ = ∫t²·2·t¹⁵·dt + x¹⁶/8 + x¹⁸/9 + C = 2·∫t¹⁷·dt + x¹⁶/8 + x¹⁸/9 + C
^{0            x                                                x}

(1/8)·x¹⁶ = (1/9)·(1-x¹⁸) + x¹⁶/8 + x¹⁸/9 + C

Eliminando el término (1/8)·x¹⁶:

0 = (1/9)·(1-x¹⁸) + x¹⁸/9 + C

0 = (1/9) - x¹⁸/9 + x¹⁸/9 + C    =>   C = -1/9

Revisar los cálculos.

Todo perfecto muchas gracias