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Graficar y calcular el área de la región comprendida entre: y=√x, y=x-2, x=0

El área a encontrar es la siguiente:



Ahora encontramos los intersectos de ambas curvas, para eso hacemos:

y₁=√x  y  y₂=x-2 e igualamos y₁ con y₂:

Igualnadolas y elevandolas al cuadrado obtenemos:

x²-5x+4=0, donde las raíces son x=4 y x=1

Esta ecuación es muy interesante al igual que el procedimiento, ya que de las raices solo sirve una (lo sacamos de la grafica). Evaluando cada raíz, vemos que solo sirve x=4. Luego, integramos en el intervalo [0,4]. Luego:

∫_[0,4]√xdx=2/3 x^3/2|_[0,4]=2/3(4^3/2)=16/3

Que es la respuesta a tu ejercicio.

PD:

Es interesante la ecuación x²-5x+4=0 , porque generalmente se cumple que si tenemos una expresión de la forma x²+bx+c=0, las raices son numeros reales E y D tal que E+D=b y E*D=c, lo cual no cumplen x=4 y x=1.

Pregunto, qué es lo que pasa aquí?..

Esta bien ya que:

x²-5x+4=0   con x₁ = 4   y    x₂ = 1

ax² + bx + c = 0

x₁ + x₂ = -b/a   =>  4+1 = 5 = -(-5)/1

x₁·x₂ = c/a   =>   4·1 = 4 = 4/1

Yo sé que está bien, pero por qué no cumple el hecho que mencionaba: E+D=b y E*D=c?

Te lo he comentado en el tema anterior:

ax² + bx + c = 0

x1 + x2 = -b/a   si   a = 1 (como es el caso)   x1 + x2 = -b   (menos b, no b)

x1·x2 = c/a       si   a = 1   x1·x2 = c

hola les agradezco la resolucion del ejercicio pero tengo una duda lo que ustedes estan discutiendo es otra cosa que no tiene que ver con mi ejercicio?

Sí, lo que estamos discutiendo no tiene nada que ver con el ejercicio. Es una cuestión de comprobación de las raíces de segundo grado. Quizás lo tendríamos que haber discutido en otro sitio para no confundirte. No te preocupes lo tuyo, si lo entiendes, está resuelto.

si lo entendi muchas gracias por la aclaracion y la ayuda son unos genios..graciasssssssssssss

hola me gustaria pedirles si me pueden hacer el paso a paso de como hicieron la igualacion entre las y₁y la y₂ gracias

Resulta que los limites de integración son la coordenada x donde las dos curvas se intersectan, luego, hay que igualarlas, por lo que tenemos que:

√x =x-2

Elevando al cuadrado:

x=(x-2)² => x=x²-4x+4

Igualando a cero:

x²-5x+4=0 y luego hallas las raices por la fórmula de Newton o por el metodo que desees.