Foros Ciencias Galilei

¿Que relación existe entre las funciones F y Φ definidas para todo x respectivamente por

Voy a llamar a 1/√(2π) = k

　　　　　x
F(x) = k·∫e^-½t²·dt
　　　　0

　　　　　x
Φ(x) = k·∫e^-½t²·dt
　　　　-∞

Sugerencia: Considere la función G definida para todo x por G(x) = F(x) -Φ(x). Demuestre que G'(x)=0, mediante aplicación del Primer Teorema Fundamental del Cálculo. De esto se deduce que existe una constante C tal que G(x)=c, para todo x.Determine la constante, calculando G(0).

Hola.

Voy a llamar a 1/√(2π) = k

　　　　　x
F(x) = k·∫e^-½t²·dt
　　　　0

　　　　　x
Φ(x) = k·∫e^-½t²·dt
　　　　-∞

G(x) = F(x) -Φ(x)

F'(x) = k·[e^-½x²]

　　　　　x
Φ'(x) = k·∫e^-½t²·dt = k·[e^-½x² - lim e^-½t²] = k·[e^-½x²]
　　　　-∞

ya que lim e^-½t² = 0 cuando t → ±∞

G'(x) = F'(x) - Φ'(x) = k·[(e^-½x²) - (e^-½x²)] = 0


Vamos a intentar calcular G(0)

F(0) = 0 por tener igual límite de integración.

　　　　　₀
Φ(0) = k·∫e^-½t²·dt =
　　　　^-∞

Sale una cosa muy rara en la integral. Habrá que intentar hacerla:  

Copia y pega para ver

Ya me fije copiando y pegando y sale algo muy raro,tenes razón pero al final cual es la solución?La integral de la de la campana de Gauss, fijate por ese lado como se resuelve haber si hay suerte.

Mira esto:

Integral gausiana (mathworld.wolfram.com)

cual es el motivo que me mandes a ver ese enlace?la pagina esta en inglés y no entiendo nada,además en la materia a la que se refiere el ejercicio planteado no se ve ese tema asi que no creo que se resuelva por ese lado, no es una integral gaussiana sino es la integral de la campana de gauss, es la integral con la que se calcula el área debajo de la campana de gauus cuando trabajamos con la distribución normal.

　　　　　₀
Φ(0) = k·∫e^-½t²·dt = k·√(π/2)
　　　　^-∞

Como

1/√(2π) = k

G(0) = Φ(0) = 1/2

Lo que querías que vieras es que esa integras (gausiana) que es una función de probabilidad (como dice al principio de la página enlazada: 'The Gaussian integral, also called the probability integral and closely related' (coge google y traduce) no es moco de pavo como habrás podido comprobar si te has tomado la molestia de ojear el enlace. La solución que te he puesto arriba está hecha con un programa matemático y concuerda con la que pone en la susodicha página (al final).