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El ejercicio es:

∫e^-x·cos x·dx = ½·e^-x·(sen x - cos x)




como se resuelve?

Hola.

La integral tiene por solución:



Se hace por partes dos veces llamando u a la función trigonométrica (es cíclica, te da al final lo mismo que al principio)

∫e^-x·cos x·dx = ½·e^-x·(sen x - cos x)

Ahora bien la integral impropia hay que hacerla así:

_{∞　　　　　　　　　　t}
∫e^-x·cos x·dx = Lim ∫e^-x·cos x·dx =
^{0　　　　　　　t→∞　0}

Lim  [½·e^-t·(sen t - cos t) + 1/2] =
^t→∞

El 1/2 sale de sustituir 0 en →  ½·e^-0·(sen 0 - cos 0) =-1/2

Lim  [½·e^-t·(sen t - cos t) + 1/2] = 1/2
^t→∞

Porque e^-t = 0 cuando t→∞

Me podrias explicar como se llega de ∫e-x·cos x·dx a  ½·e-x·(sen x - cos x)?se reuelve igual que cuando e se eleva a la x positiva?Desde ya gracias por la ayuda

I = ∫e^-x·cos x·dx =**

Por partes:

u = cos x => du = -sen x dx

dv = e^-x·dx => v = -e^-x

** = -e^-x·cos x - ∫e^-x·sen x dx =**

Otra vez por partes:

u = sen x => du = cos x dx

dv = e^-x·dx => v = -e^-x

** = -e^-x·cos x - [-e^-x·sen x -∫-e^-x·cos x dx =**

** = -e^-x·cos x + e^-x·sen x -∫e^-x·cos x dx = -e^-x·cos x + e^-x·sen x - I

En resumen:

I = -e^-x·cos x + e^-x·sen x - I

2I = -e^-x·cos x + e^-x·sen x

I = ½·e^-x·(sen x - cos x)

Al final se resuelve como yo pensaba igual que cuando e se eleva a la x positiva, gracias por el esfuerzo y el empeño.

Gracias ya le agarre la honda gracias a ud!Muy buen aporte,siga así!!