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Mensaje 05 May 09, 17:48  11574 # 1



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Gracias Galilei por la ayuda prestada va a salvar a un poco de estudiantes desorientados ja ja ja

Imagen

la mayor duda que tenemos es en el 7 y el 8 porque deducimos (ya que no dice especificamente) que la resolucion es por sustitucion trigonometrica y nosotros lo resolvimos por otro metodo ya que esa parte no la tenemos clara.

Reitero mis agradecimientos.


Si te dan en una mejilla... da la otra
          
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Mensaje 05 May 09, 23:47  11581 # 2


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7)

   dx
∫------------
 x·√x² + a²

Hacemos el cambio:

x² + a² = t² => x = √t² - a²

2x·dx = 2t·dt => dx = t·dt/x = t·dt/√t² - a²

Sustituimos:

        t·dt
∫-------------------------- =
 (√t² - a²)·(√t² - a²)·t

Simplificando:

   dt
∫---------- = *
 (t² - a²)

Esta es racional:

  A    B     A·(t + a) + B·(t - a)    1
-------- + ------- = --------------------- = ------------
 t - a   t + a     t² - a²        t² - a²

A·(t + a) + B·(t - a) = 1

A = 1/2a
B = -1/2a

* = (1/2a)·[L (t - a) - L (t + a)] =

      (t - a)  
= (1/2a)· L ------- + C =
      (t + a)

      (√x² + a² - a)  
= (1/2a)· L ---------------- + C
      (√x² + a² + a)


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"Lee las NORMAS del foro. Gracias"
          
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Mensaje 05 May 09, 23:59  11582 # 3


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8)
   dx
∫------------
 x·√x² - a²

x² - a² = t² => x = √t² + a²

x·dx = t·dt => dx = t·dt/x = t·dt/√t² + a²

Sustituimos:

      t·dt
∫---------------------- =
 t·(√t² + a²)·(√t² + a²)

  dt
∫------------ =
 (t² + a²)

dividimos numerador y denominador por a²:

   (1/a²)·dt
= ∫ ------------ =
   (t/a)² + 1

      (1/a)·dt
= (1/a)·∫ ----------- =
      (t/a)² + 1

= (1/a) arctg (t/a) + C =

= (1/a) arctg (√x² - a²/a) + C =


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"Lee las NORMAS del foro. Gracias"
          
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Mensaje 06 May 09, 01:38  11586 # 4


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¿Cuál es la siguiente en la que hay dudas?


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Mensaje 06 May 09, 22:13  11602 # 5


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Citar:
Galilei porque cambio el signo???

x² - a² = t² => x = √t² + a²

no debio ser

x² - a² = t² => x = √t² - a²


Fijate bien lince, esta bien, despejas la 'x'. Suma a² en los dos miembros de la ecuacion y queda eso.


Boli :pelo:
          
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Mensaje 07 May 09, 00:58  11605 # 6


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8) Revisión:

   dx
∫------------
 x·√x² - a²

Si en esta intentas utilizar el cambio x = a·tg t te queda:

dx = a·(1 + tg² t)·dt

sustituye y te queda:

  a·(1 + tg² t)·dt
∫------------------ =
 a·tg t·√a²·tg²x - a²

     (1 + tg² t)·dt
(1/a)·∫------------------ =
    tg t·√tg²x - 1

No parece que sea un buen cambio porque arriba hay un +1 y abajo -1 con la tangente cuadrado.

Mira este enlace . Ahí sí lo es.

Como lo he realizado en el mensaje anterior, si haces la derivada de la solución sale la integral. Lo hice con el Derive que nunca se equivoca.




7) Revisión:

   dx
∫------------
 x·√x² + a²

Haciendo el mismo cambio quedaría:

   a·(1 + tg² t)·dt
∫----------------------- =
 a·tg t·√a²tg² t + a²

     (1 + tg² t)·dt
(1/a)· ∫----------------------- =
    tg t·√tg² t + 1

     √(1 + tg² t)·dt
(1/a)·∫ ----------------------- =
         tg t

Como 1 + tg² t = 1/cos² t = sec² t

       cos t·dt      
= (1/a)· ∫------------- =
      cos t·sen t

      dt        
= (1/a)·∫ ------- =
     sen t

= (1/a) L tg (t/2) + C

donde

t = arctg (x/a)

Hay que tener en cuenta que pueden ser identidades trigonométricas las soluciones que aparentemente son distintas.


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Mensaje 08 May 09, 00:43  11638 # 7


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2)

 Enunciado 

∫tg6x·dx



tg x = t
dt = (1 + tg² x)·dx = (1 + t²)·dx

dx = dt/(1 + t²)

∫tg6x·dx = ∫t6·dt/(1 + t²) =

Dividimos t6 entre 1+t² y queda:

  t6              1
------------ = t4 - t2 + 1 - ---------
 t² + 1            t²+1

Integrando cada témino queda:

(1/5)·t5 - (1/3)·t3 + t - arctg t + C

deshaciendo el cambio:

(1/5)·tg5 x - (1/3)·tg3x + tg x - arctg tg x + C =

(1/5)·tg5 x - (1/3)·tg3x + tg x - x + C

-


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Mensaje 08 May 09, 00:48  11639 # 8


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3)

 Enunciado 

∫dx/(x² + 7)



(1/7)·∫dx/((x/√7)² + 1) =

∫(1/√7)·∫(1/√7)·dx/((x/√7)² + 1) =

(1/√7)·arctg (x/√7) + C


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Mensaje 08 May 09, 01:04  11640 # 9


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4)

 Enunciado 

∫dx/√(4 + x²)



x = 2·tg t

dx = 2·(1 + tg² t)·dt

 2·(1 + tg² t)·dt
∫--------------- =
 √(4 + 4·tg² t)

 2·(1 + tg² t)·dt
∫--------------- =
 2·√(1 + tg² t)

 (1 + tg² t)·dt
∫--------------- =
 ∫√(1 + tg² t)

= ∫√(1 + tg² t)·dt = ∫sec t dt = Ln tg (t/2) + C =

Ln tg ½·(arctg (x/2) + C




6)

 Enunciado 

  a·dx
∫ ----------
  a - x



  a·dx
∫ ---------- =
  a - x

    -dx
-a·∫ ---------- = -a·Ln (a - x) + C
    a - x


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Mensaje 08 May 09, 01:22  11642 # 10


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Te pongo las soluciones de la racionales:

Soluciones:

9)  arctg (x+2)

10) ½·arctg [½·(2x+1)] + (1/4)·Ln (4x²+4x+5)

11) 3·Ln (x-3) - 3·Ln (x-2) + x = x + 3·Ln [(x-3)/(x-2)]

12) (1/4)·Ln (x+3) - (1/3)·Ln (x+2) + (1/12)·Ln (x-1)

13) Ln x - Ln (x+1) + 1/(x+1) = Ln [x/(x+1)] + 1/(x+1)

14) -(7/16)·Ln (2x-1) - (9/16)·Ln (2x+1) + Ln x + x/4


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