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Realizada este  ejercicio para hallar a y b en función de los datos que aporta en cuánto a su concavidad y convexidad o sus ptos de inflexión:

a) La función  ax²+b ln x tiene un punto de inflexión en (1,2).Calcula 'a' y 'b' y los otros ptos de inflexión.


b) Halla 'a' para que esta otra función x⁴+2x³+ax²+x+1 sea  siempre  convexa.

Hola,

f(1) = 2          Pasa por (1,2)

f''(1) = 0         PI en x = 1


2 = a·1² +b ln 1 = a + b

f'(x) = 2ax + b/x

f''(x) = 2a - b/x²

0 = 2a - b/1² = 2a - b


a + b = 2
2a - b = 0             3a = 2       a = 2/3           b = 4/3


La derivada segunda es:


f''(x) = 2a - b/x² = 4/3 - (4/3x²)   = (4/3)(1 - 1/x²)

f''(x) = 0    =>       x = ±1          Sólo válido x = 1   (dominio de f(x))

Y' = 4x³ + 6x² + 2ax + 1

Y'' = 12x² + 12x + 2a = 12(x² + x + a/6)

Discriminante:

∆ = b² - 4ac = 1 - 2a/3 = 0           a = 3/2

Para que se pueda poner como un cuadrado perfecto (siempre +):


   a = 3/2


y'' =  12(x² + x + 3/12) = 3(2x+1)² > 0   ∀x

No entiendo porque  haces  eso  si para que sea  convexa  la segunda derivada  tiene que sermenor  que cero porque cogs el discriminante de la fórmula  y lo  igualas  a cero.

Hola,

Si el discriminante no es cero, la derivada segunda tendrá ceros y cambiará de signo. Si el discriminante es cero (o negativo   a >3/2), la derivada segunda sólo tedrá un signo, que resulta ser positivo, y será concava. Es muy raro que una función a la cuarta sea convexa