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Se ha construido un gran depósito cilíndrico de 81 m³ de volumen. La superficie lateral ha de ser construida con un material que cuesta 30 euros/m², y las dos bases con un material que cuesta 45 euros/m².

A. Determina la relación que hay entre el radio, r, de las bases circulares y la altura, h, del cilindro, y da el coste, C(r), del material necesario para construir este depósito en función de r.

B. ¿Qué dimensiones (radio y altura) ha de tener el depósito para que el coste de los materiales necesarios para construirlo sea el mínimo posible?

C. ¿Cuál será, en este caso, el coste del material?

Volumen del cilindro: 81m³= πr²h
Area lateral:2πrh
Area de los dos círculos: 2πr²

Coste= (30 euros/m²) · (2πrh) + (45 euros/m²) · ( 2πr²)

En la primera ecuación despejamos h y la reemplazamos en la segunda:
C(r)=60πr(81/πr²) + 90πr² = (4860/r + 90πr²) €


Hacemos: dC(r)/dr = 180πr-4860/r² = 0  →  r=3/π^⅓= 2.05 m
h= 81/π(2.05)² = 6.14 m


Utilizamos la relación funcional de la parte A, con r=2.05 m
C(2.05)= 3558,96 €

Saludos.