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El enunciado pide hacer el estudio completo de la siguiente función:
f(x)=x³+2x³

f'(x)=3x²+6x²=0

9x²=0

x₁=0 y x₂=0

f''(x)=6x+12x=0

x=0

Intervalo   F(x)   F'(x)   F''(x)   Observación
-1(-∞;0)              +                  Crece
x=0           0         0       0
1(∞;0)                 +                 Crece

Crece para el intervalo (-∞;∞)

Mi pregunta es?Puede ser que al derivar una función esta crezca y siga creciendo?Tenía entendido que las funciones crecían en un intervalo y decrecían en el siguiente?está bien resuelto el ejercicio?

-Hola, Civer. Solo te falta organizarlo un poco:

Suponiendo que la función es la que das:  f(x)=x³+2x³,  debemos operarla primero:  f(x)=3x³

Dominio: D(f)=ℝ   por ser polinomio.

Derivada 1ª:         f '(x)=9x² ;  9x²=0 => x=0  posible extremo relativo.

Para comprobar si en x=0 hay extremo, aplicamos el criterio de la derivada 2ª:

f ''(x)=18x  ; f ''(0)=0 no decide  (por dar 0, hay que seguir derivando).

f '''(x)=18  ; f '''(0) = 18≠0   Es distinta de cero; pero por ser derivada de orden impar, no hay extremo en x=0, sino punto de inflexión horizontal.

Esto lo resumo en una tabla como la que das:

x:         -∞     0     +∞
   
f '(x)       |  +  |   +  |      luego  f(x) crece en  ℝ* : confirmado que no hay extremo en x=0 por crecer a ambos lados de 0.
f ''(x)      |   -  |   +  |     


Ver la gráfica: y=3x³

En cuanto al crecimto/decrecimto, las funciones pueden comportarse de cualquier manera (según dicte su "ley"). Por ejemplo, y=e^-x siempre decrece.

Venga.