Foros Ciencias Galilei

√(1-cos2x)/(1+seny)  + y' =0    

y(π/4) =  0

 

1-cos2x/1+seny    es el radicando

Hola.

Sólo se me ocurre hacer esto (podrías dejar el tema que estás estudiando, porque no se que tan válido sea mi procedimiento):

Separando variables, se obtiene

∫[1-cos(2x)]^1/2dx=-∫[1+sen(y)]^1/2dy


Evaluemos cada integral:


Para ∫[1-cos(2x)]^1/2dx , notemos que sen²x=1/2[1-cos(2x)], con lo que


∫[1-cos(2x)]^1/2dx=√2∫senx dx = -√2 cosx + C

Para ∫[1+sen(y)]^1/2dy , sea y=U+π/2 ⇒ dy=dU , así:

∫[1+sen(y)]^1/2dy= ∫[1+sen(U+π/2)]^1/2dU=∫[1+cosU]^1/2dU

Ahora, sea U=2w ⇒ dU=2 dw , así:

∫[1+cosU]^1/2dU= 1/2∫[1+cos(2w)]^1/2dw

Pero cos²w=1/2[1+cos(2w)] , con lo que:

1/2∫[1+cos(2w)]^1/2dw= 1/√2 ∫cosw dw = 1/√2 senw +C

Devolviendo las sustituciones:

1/√2 senw +C= 1/√2 sen(U/2) +C = 1/√2 sen[(y-π/2)/2] +C

Por lo tanto:

-√2 cosx = -(1/√2 sen[(y-π/2)/2]) + C ⇒

y(x) = 2 arcsen(2cosx+C)+π/2

Éxitos!!!...