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Buenas tardes, dias o noches, cualquiera que sea el caso. Brevemente voy a decirles que en el libro de calculo diferencial e integral de granville(la edición mas reciente) me encontre la siguiente derivada desarrollada de la siguiente forma:

y= arc sen (3x-4x³)

1.- dy/dx= (d/dx (3x - 4x³))/√(1-(3x - 4x³)²)

2.- dy/dx= 3-12x²/√(1-9x²+24x⁴-16x⁶)

3.- dy/dx= 3/√(1-x²)

el problema no esta en derivar, el problema que tengo es en el paso 2 y 3, ¿como es que llega a ese resultado?; yo almenos he intentado varias cosas, buscar factores, como el multiplo de 3 del numerador, racionalizar, sumar cero, multiplicar por uno, expresar al numerador como una potencia elevada al cuadrado para "meterlo" con la raíz del denominador, pero no logro llegar al resultado propuesto, que opinan, ¿como se podria resolver?

Hola,

(3-12x²)/√(1-9x²+24x⁴-16x⁶) =

Factorizamos el denominador:

1-9x²+24x⁴-16x⁶

1-9x²+24x⁴-16x⁶ = -(x²-1)·(1-4x²)² = (1 - x²)·(1-4x²)²

3·(1-4x²)/√-(x²-1)·(1-4x²)² =

= 3·(1-4x²)/[(1-4x²)√(1-x²)] =

= 3·/√(1-x²)

Despues de derivar:
  dy/dx = (3-12x²)/√(1-9x²+24x⁴-16x⁶)
1º) Descomponemos factorialmente el radicando del denominador, y como es una especie de
    bicuadrada hacemos el cambio   t=x²
          -16⁶+24x⁴-9x²+1   =>  -16t³+24t²-9t+1
    Primero por Ruffini:
          -16t³+24t²-9t+1 = (-16t²+8t-1)(t-1) =
    Cambiamos el signo al primer factor, sacando factor común -1, que luego multiplicamos por el segundo factor:
          (16t²-8t+1)(-1)(t-1) = (16t²-8t+1)(1-t)
    Así, si observas detenidamente, lo primero es una identidad notable, en concreto el cuadrado de una diferencia,
    por lo que no importa el orden en el que se pongan los factores :
         (16t²-8t+1)(1-t) = (4t-1)²(1-t) = (1-4t)²(1-t)
    Y ahora deshacemos el cambio  t=x²
         (1-4t)²(1-t)   =>   (1-4x²)²(1-x²)
  
    Si incluímos la raíz, vemos que el factor al cuadrado puede salir de la raíz:
         √[(1-4x²)²(1-x²)] = (1-4x²)√(1-x²)

2º) Viendo lo que aparece en el denominador nos interesa sacar factor 3:
         3-12x² = 3 (1-4x²)

3º) Juntando ambas expresiones y simplificando obtenemos el resultado:
        dy/dx = (3-12x²)/√(1-9x²+24x⁴-16x⁶) = [3 (1-4x²)]/[(1-4x²)√(1-x²)] = 3/√(1-x²)

Parece un poco largo, pero es más difícil explicarlo que hacerlo, espero que te sirva y que por fin quede resuelto
el misterio de la derivada