Foros Ciencias Galilei

Saludos a todos los que gustan de las matemáticas…
En esta ocasión vengo a proponer otro tema: Derivadas de Logaritmos Naturales
Todos los problemas o dudas presentados a continuación fueron realizados por profesores alumnos y un servidor…
¿Como escoger el mejor método de resolución para Derivadas de cualquier tipo?
Sabemos que el método normal es el de aplicación de formulas y el segundo y preferido por la mayoría es el de Logaritmos naturales, pero la duda es Como escoger el método apropiado???
Problema 1:



En este caso lo resolvieron aplicando la fórmula de la forma:



y el resultado fue



como habria quedado por Logaritmos naturales???

pero veamos acá:

Problema 2:





Aquí viene mi pregunta:
Yo lo resolví así, lo tomé de la forma:  



y apliqué la formula general… (salió un monstruo de ejercicio)
Y un compañero aplico logaritmos naturales:



Dándole como respuesta:  



pero no se supone que según reglas de logaritmos naturales debió haberlo multiplicado por la ecuación principal??? Quedando así???



Y por último cual de los métodos se debió escoger para resolverlos o ambos métodos son justificados???  también me preguntaron ¿Por qué no salieron las respuestas iguales? Mi respuesta fué que era por el método de resolución ya que al aplicar fórmula el tratamiento que se le da al Logaritmo natural es diferente al segundo método en el cual se utilizan “Propiedades de los Logaritmos” pero no se si es una respuesta acertada…
Pd: yo se que algunos me dirán que se escoge el segundo método por la simpleza de la resolución pero es solo por eso???
Para terminar:



A que es igual??? Yo aplique logaritmos naturales pero no se si lo hice bien…

ah me olvidaba!!!
si tuvieramos que diseñar un "manual" o una "reglamentacion" para resolver derivadas de cualquier tipo como sería???

propongo que cada miembro diseñe una manera de resolución (la más práctica) para futuros visitantes del foro y asi darle mas prestigio del que ya tiene...

Para la primera ecuacion, no se como sacan su derivada por logaritmos naturales, yo personalmente la haria median la Derivación Implícita, de la siguiente forma:


Ahora, multiplico a ambos lados por (x+y), y opero todo, lo que me da:



Ahora por derivacion implicita y regla del producto, obtengo:


Y despejando la derivada:


Esta derivada está bien hecha, pero es algo rara con respecto a la respuesta q has puesto..yo lo hice por derivación implicita suponiendo qye la Y no se comporta como constante, ya que o si no serian derivadas parciales..lo son??.

Para el segundo:


Utilice la regla de la cadena, de la siguiente forma:

Sea  
Asi tenemos que


Y podemos hacer que:


Luego, haciendo cada derivada, aplicando la regla de la potencia, del logaritmo y del cociente, finalmente se obtiene:



Si aplico la resta de logaritmos, obtengo al derivar, aplicando el razonamiento anterior:





Por ambas partes me ha dado el mismo resultado, asi q no depende del metodo, sino de la forma en que se aplica.

Ahora miremos el ejercico de:



Es ncesario hallar la derivada de una funcio de la forma   , asi quer procedemos de la siguiente manera:

Por las propiedades de la exponencial y el logaritmo natural, podemos escribir:



Ahora derivando esto (derivada de la exponencial)  haciendo

 



Así la derivada, haciendo como un producto es:

Lo único que puedo decir de todo esto es que...

Que bien lucen los ejercicios en Latex :P

Derivando  implicitamente :



Haciendo los productos, sumas y restas correspondientes debieras llegar a :



Despejas  y`

y obtienes que



Tal vez al no usar cambios de  variable  se ve un poco más denso, pero así se puede ver mejor qué  se hizo.

Aki si surge un debate, ya que la ecuación que yo derivé, e equivalente a esta, pero no dan la misma respuesta...habrá que expandir los productos?...

Yo lo voy a hacer por otro método (aplicando Ln a ambos lados):

y³ = (x - y)/(x + y)

Ln y³ = Ln [(x - y)/(x + y)] = 3·Ln y = Ln (x - y) - Ln (x + y)

Derivamos ahora (Paso a paso):

3·(y'/y) = (1 - y')/(x - y) - (1 + y')/(x + y)

3·(y'/y)(x² - y²) = (1 - y')·(x + y) - (1 + y')(x - y)

3·y'(x² - y²) = y·(1 - y')·(x + y) - y·(1 + y')(x - y)

3·y'(x² - y²) = y·(x + y) - y·y' (x + y)  - y·(x - y) - y·y'·(x - y)

quitamos parentesis de la derecha:

3·y'(x² - y²) = y·x + y² - y·y' x - y' y²  - y·x + y² - y·y'·x + y'y²

los términos marcados de anulan dos a dos y queda

3·y'(x² - y²) = y² - y·y' x + y² - y·y'·x = 2·y² - 2·y·y'·x

3·y'(x² - y²) = 2·y² - 2·y·y'·x

y' [(3·(x² - y²) + 2yx] = 2·y²

　　　　　　2·y²
y' = ------------------
　　　3·(x² - y²) + 2yx

Esto es una ecuación diferencial.

Saludos
necesito ayuda con esta derivacion...

Ln² (3t+1)



como dije es crucial para mi examen de mañana


GraCIAS DE antemano

Esto es derivar u² siendo u = Ln (3t+1)

La derivada de u² es 2·u·u'

es como escribir eso como [Ln (3t+1)]² siendo 'u' lo dentro del corchete.

u' = 3/(3t+1) 　→　La derivada del Ln (3t+1)

y' = 2·Ln (3t+1)·3/(3t+1), más claro:

　　　6·Ln (3t+1)　　　Ln (3t+1)⁶
y' = -------------- = -------------
　　　　　3t+1　　　　　　3t+1