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Sea x la longitud del lado que es igual y vamos a llamar 2·y a la longitud de la base del mismo.

Se ha de cumplir que 2x + 2y = P (perímetro) ⇒ x+y = ½P ⇒ x =½P - y

La altura de dicho triángulo será, aplicando el T. de Pitágoras para ello:

h = √(x² - y²) = √[(½P - y)² - y²]

El área de un triángulo es la mitad de la base (2y) por la altura h.

A(y) = ½·(2·y)·√[(½P - y)² - y²]

Desarrollando el cuadrado que hay en la raíz y simplificando:

A(y) = y·√(¼P² - P·y)

Derivamos para optimizar la función respecto a la variable y, obteniendo:

A'(y) = √(¼P² - P·y) - ½·y·P/(√(¼P² - P·y) = 0

Multiplicamos a ambos lados por √(¼P² - P·y), quedando:

¼P² - P·y - ½P·y = 0 ⇒ y = (1/6)·P

El lado (base del triángulo) es 2·y = (1/3)·P

Luego la x:

x = ½P - y = (1/3)·P

Habrá que probar todavía que se trata de un máximo comprobando que la derivada A'(y) cambia de +  a - al pasar por (1/6) de y.

El perímetro de área máxima se obtiene cuando es equilátero (caso particular de isósceles).

Si el perímetro es de 20 cm la respuesta es que el triángulo de área máxima es el de lado 20/3 cm y base 20/3 cm