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Calcular la serie de potencias centrada en cero de la función

f(x)=1/(x²+5x+6)

Pero de que orden??...Voy a hacer los primero seis términos (despues de  los dos puntos es evaluada en cero).

f⁰(x)=1/(x²+5x+6) :1/6

f¹(x)= -(2x+5)/(x²+5x+6)² : -5/36

f²(x)= 2·(3x²-15x-19)/(x²+5x+6)³ : 19/108

f³(x)= - 6·(2·x + 5)·(2·x² + 10·x + 13)/(x² + 5·x + 6)⁴ :-65/216

f⁴(x)= 24·(5·x⁴ + 50·x³ + 190·x² + 325·x + 211)/(x² + 5·x + 6)⁵ : 211/324

f⁵(x)= - 120·(6·x⁵ + 75·x⁴ + 380·x³+ 975·x² + 1266·x + 665)/(x² + 5·x + 6)⁶ : - 3325/1944

De esta forma:

f(x)=1/(x²+5x+6)≈ - 665·x⁵/46656 + 211·x⁴/7776 - 65·x³/1296 + 19·x²/216 - 5·x/36 + 1/6

La gráfica azul es la gráfica de f(x) mientras que la negra es de la aproximación de orden 5.



Lo que muestra una burda aproximación.  

Haciendo lo mismo, pero en una aproximación de orden 20 se obtiene que:



La aproximación es mejor (línea punteada) aunque son necesarios másterminos para representar bien la función (linea azúl).



Éxitos!!!...