Foros Ciencias Galilei

Hola Galilei, ante todo gracias por tus aportes. Quiero saber algo muy puntual, cuando la trayectoria de una partícula contiene un arco, puede en dicho momento considerarse que la partícula sigue una circunferencia con su correspondiente componente de aceleración centrípeta. El problema es que para hallar dicha aceleración es necesario conocer el radio de esa circunferencia.
Con herramientas de análisis matemático deducimos que en dicho punto de la trayectoria, las ecuaciones de la circunferencia y de la trayectoria deben tener sus derivadas primera y segunda iguales con esto partiendo de la ecuación de la circunferencia:

(y-yo)² + (x-xo)² = ρ²

y' = -(x-xo)/(y-yo)

        -(y-yo)² - (x-xo)²
y'' = --------------------- = ρ²/(y-yo)³
            (y-yo)³

En el texto que tengo dice: "Combinando las ecuaciones anteriores obtenemos:"
ρ = (1+(y')²)^3/2/y''

Intenté deducir como las "Combina" pero no logro descifrarlo, me gustaría me indiques el camino por donde sale la fórmula... Gracias!

Hola,

Tienes mal la derivada segunda.

Empezamos:

(y-yo)²+(x-xo)²= ρ²

Derivando:
                                                      (x-xo)
2·y'·(y-yo)+2·(x-xo)  = 0            y' = - --------     =>   (x-xo) = - y'·(y-yo)   [1*]
                                                      (y-yo)

Sustituyendo [1*] en la primera ecuación:

(y-yo)²+(x-xo)²= ρ²   =>   (y-yo)² + y'²·(y-yo)² = ρ²    =>  (y-yo)²·(1 + y'²) = ρ²    =>

(y-yo)² = ρ²/(1+y'²)   =>    (y-yo) = ρ/√(1+y'²)

Entonces de  [1*]:

(x-xo) = -y'·(y-yo) = -y'·ρ/√(1+y'²)

Hacemos la segunda derivada:

            (y-yo) - y'·(x-xo)          y'·(x-xo) - (y-yo)
y'' =  -  --------------------- = -------------------- =
                 (y-yo)²                       (y-yo)²

sustituimos los (y-yo) y los (x-xo):

   -y'·y'·ρ/√(1+y'²) - ρ/√(1+y'²)            -(y'² + 1)                   -(y'² + 1)√(1+y'²)
= ------------------------------- =  ---------------------- = ---------------------   =>
               ρ²/(1+y'²)                        ρ·√(1+y'²)/(1+y'²)                   ρ                            

       -√(1+y'²)³
= ----------------
           ρ

ρ = - √(1+y'²)³/y''

A mí me que da un menos ahí. No sé si será del ± de la raíz o un error. Si lo encientras me avisas.

Circunferencia osculatriz (Wiki)