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Máximos y mínimo con multilpicadores de Lagrange (UNI)

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Desconectado  Yovithaa 

Mensaje 06 Nov 10, 14:25  20308 # 1
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Registro: 10 Jul 09, 22:28
Mensajes: 9
Mi nombre es: yovilyn
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Nivel Estudios: Universitari@
País: Chile
Ciudad: Copiapó
Género: Femenino
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por favor, me pueden ayudar con este ejercico muchas gracias.

Encontrar la distancia minima del origen a la curva:  x²+8xy+7y²=225.
          
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Desconectado  Galilei 
    

Mensaje 07 Nov 10, 00:24  20325 # 2
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Registro: 28 Oct 05, 00:18
Mensajes: 9672
Mi nombre es: Andrés Jesús
_____________Situación_
Nivel Estudios: Licenciad@
País: España
Ciudad: Marbella (Málaga)
Género: Masculino
______________________
Hola,

Mira qué suerte, lo encontré resuelto:

Cita:
 "Minimizaremos por simplicidad la distancia al cuadrado, es decir, f(x, y) = x² + y² sometidos a la restricción g(x, y) := x² + 8xy + 7y² = 225. Mediante multiplicadores de Lagrange, tenemos a resolver el sistema

∇f = λ·∇g
g(x,y) = 225

explícitamente el sistema es

2x = λ·(2x + 8y)
2y = λ·(8x + 14y)
x² + 8xy + 7y² = 225

Dividiendo entre 2 las primeras dos ecuaciones, tenemos

x = λ·(x + 4y)
y = λ·(4x + 7y)
x² + 8xy + 7y² = 225

Multiplicamos la primera de las ecuaciones por y y la primera por -x para obtener

xy = λ·(xy + 4y²)
-xy = λ·(-4x² - 7xy)

Sumamos las dos ecuaciones se tiene

0 = λ·(4y² - 6xy - 4x²)

Lo anterior implica bien λ = 0, o bien 2y² - 3xy - 2x² = 0. Si λ = 0, se tendría x = 0, y = 0 que no satisface la restricción. Si 2y² - 3xy - 2x² = 0, entonces consideramos las dos ecuaciones

2y² - 3xy - 2x² = 0
x² + 8xy + 7y² = 225

Completamos el cuadrado en la expresión - 3xy - 2x²; se tiene que

- 3xy - 2x² = -(1/2)·((2x)² + 3x(2y)) = - (1/2)·((2x)² + 2·(3/2)·x(2y) + (9/4)·y² - (9/4)·y²)

= - (1/2)·((2y + 3x/2)² - (9y²/4)) = - (1/8)·((4y + 3x)² - 9y²)

En consecuencia, 2y² - 3xy - 2x² = 0 equivale a decir que

2y² - (1/8)·((4y + 3x)² - 9y²) = 0.

Y multiplicando a ambos lados por 8 se tiene

16y² - ((4y + 3x)² - 9y²) = 0

lo que implica que

7y² - (4y + 3x)² = 0.

Factorizamos la resta de cuadrados y se tiene

(√7y - (4y + 3x))·(√7y + (4y + 3x)) = 0.

Esto implica que √7y - (4y + 3x) = 0 o que √7y + (4y + 3x) = 0. En cualquiera de los dos casos puedes despejar y en términos de x o viceversa y reemplazar en la restricción

x² + 8xy + 7y² = 225

para que quede una ecuación de una sola variable y así obtienes todos los candidatos. Evalúas f en ellos y el más pequeño corresponde al mínimo. Los demás cálculos me dan pereza, te los dejo."


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Desconectado  Galilei 

Mensaje 07 Nov 10, 00:28  20326 # 3
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Aquí tienes ejercicios resueltos:

Máximos-Mínimos.pdf (cidse.itcr.ac.cr - Walter Mora F., Geovanni Figueroa M.)



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Desconectado  Yovithaa 
    

Mensaje 28 Nov 10, 01:17  20723 # 4
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muchas gracias  :aplauso:
          
       


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