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Supongamos que queremos resolver una ecuación del tipo:

a·x² + b·x + c = 0

pero sin aplicar la famosa fórmula conocida (llegar a ella)

1º.- Multiplicamos por 4a ambos lados:

4·a²·x² + 4·a·b·x + 4·a·c = 0

2º.- Sumamos b² en ambos lados:

4·a²·x² + 4·a·b·x  + b² = b² - 4·a·c

3º.- Lo de la izquierda es un cuadrado perferto de:

(2·a·x + b)² = b² - 4·a·c

4º.- Hacemos la raíz cuadrada.

(2·a·x + b) = ±√(b² - 4·a·c)

2·a·x = -b ±√(b² - 4·a·c)

x = [-b ±√(b² - 4·a·c)]/2a


Otra forma.

1º.- Dividimos por a ambos lados de la ecuación. a≠0
Si a=0 no es de segundo grado.

x² + (b/a)·x + c/a = 0　　[1*]

2º.- Probemos a desarrollar la siguiente expresión:

(x + b/2a)² = x² + (b/a)·x + b²/4a²

Cuadrado del primero + doble producto + cuadrado del segundo

Despejemos de la última expresión:

x² + (b/a)·x = (x + b/2a)² - b²/4a²

3º.- Cambiemos x² + (b/a)·x en [1*] por la expresión anterior:

(x + b/2a)² - b²/4a² + c/a = 0

Todo esto es para que no aparezca una x² y otra x (sin cuadrado). Ahora sólo hay una x.

4º.- Despejamos (x + b/2a)²

(x + b/2a)² = b²/4a² - c/a = b²/4a² - 4ac/4a² = (b² - 4ac)/4a²

Hemos multiplicado en c/a por 4a en numerador y denominador para poder sumar los dos téminos.

5º.- Hacemos la raíz cuadrada en ambos término de la igualdad anterior:

(x + b/2a) = ± √(b² - 4ac)/2a

6º.- Pasemos b/2a al otro miembro:

x = -b/2a ± √(b² - 4ac)/2a

Común denominador 2a, sumemos:

x = [-b ± √(b² - 4ac)]/2a

Bualá

Nota: Se aconseja impimir (botón debajo del mensaje) y estudiar detenidamente.

Resolvamos la siguiente ecuación:

x² + 2·x - 8 = 0

Sabemos que (x + 1)² = x² + 2·x + 1

El número 1 es la mitad que el que multiplica a la x en la ecuación (2·x).

Luego

(x + 1)² = x² + 2·x + 1

Si comparamos las ecuaciones primera y última nos daremos cuenta que si a ésta última le restamos 9 a ambos lados las ecuaciones coinciden:

(x + 1)² - 9 = x² + 2·x + 1 - 9 = x² + 2·x - 8

Por lo tanto:

x² + 2·x - 8 = (x + 1)² - 9 = 0

(x + 1)² = 9

x + 1 = ± 3

x = - 1 ± 3

x= 2 y x = - 4

La ecuación inicial factorizada sería:

a·(x - 2)·(x + 4) = 0

Como a=1 queda:

(x - 2)·(x + 4) = 0

Con número es más fácil que con letras.

Supongamos que b = 0

La ecuación incompleta sería:

a·x² + c = 0

x = ± √(-c/a)

El eje de simetría de la parábola es el eje Y (se dice par) y por tanto el vértice está en (0,c)



Tiene solución real siempre que c/a ≦ 0

Ejemplo:

2·x² - 8 = 0

2·x² = 8

x² = 4

x = ± 2

Supongamos ahora que c = 0

a·x² + b·x = 0

Sacando factor común:

x·(a·x + b) = 0

Tiene por solución x = 0
y
a·x+b = 0

que nos lleva a:

x = -b/a

Siempre para por el origen de coordenadas (0, 0)



Ejemplo:

x² + 8·x = 0

x·(x + 8) = 0

X = 0
y
x = -8

Una ecuación de segundo grado representa a los puntos de una parábola.

Las soluciones de su ecuación son los puntos de corte de ésta con el eje de abscisa (X). Puede ocurrir tres cosas:

1º.- Que b² - 4·a·c > 0

En este caso hay dos puntos de corte con el eje X que son las soluciones de la ecuación. Con el eje Y el corte se obtiene haciendo x = 0 y nos daría c, es decir, el punto (0, c)



2º.- Que b² - 4·a·c = 0

Hay una solución única doble. La ecuación es un cuadrado perfecto y tiene una única solución que además es el vértice de la parábola.

(-b/2a, 0) es corte y vértice.



3º.- Que b² - 4·a·c < 0

La parábola no corta al eje de X.



Además, en general, la parábola tendrá mínimo si a>0 (ramas hacia arriba) y máximo en caso contrario (ramas hacia abajo).