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Entiendo bastante el tema para hay un caso que no lo puedo sacar

Determinar las raices de las siguiente ecuacione, indicando el grado de multiplicidad de la misma. Aplicar todas las técnicas estudiadas de factorización.

P(x) = x⁶ - 3

Tambien otro parecido o casi igual es

3x⁸ = 3x²

Por lo q hice se q hay q hacer factor comun y despues dos divisiones por ruffini, pero no me dan bien  :?

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Y una pregunta aparte: Por ejemplo si me piden un polinomio de gr 4, con 2 y 3 como raices dobles

Se escribiria asi:  P(x)= An. (x-2)² . (x-3)²

Y despues me dicen que saque An, y me dicen q cuando f(1)=3.
Y aca es donde tengo la duda, se escribe así:

3= An. (1-2).(1-2).(1-3).(1-3)

o se escribe así:

3=An. (1-2).(1+2).(1-3).(1+3)

en este ultima caso las raices quedan bien al multiplicarlas ( [x-2²] ).Pero en el primero las dos raices estan bien escritas, pero no quedan como tendrian q quedar, al multiplicarlas nos daria
( x+2)². Y eso es incorrecto la raiz doble no es -2, es 2.

La pregunta es cual de los dos casos va?

P(x) = x⁶ - 3

Teniendo en cuenta que (x² - a) = (x - √a)·(x + √a)

x⁶ - 3 = (x³ - √3)·(x³ + √3)

Una de las raices del primer factor es x = 3^1/6
y del segundo es x = - 3^1/6

Es la raiz cúbica de la cuadrada, eso es la raíz sexta.

Ahora tienes que tener un poco de práctica dividiendo polinomios (con coeficientes irracionales)

Tendrás que dividir (x³ - √3) entre (x - 3^1/6) y si no te equivocas te debe de dar x² + 3^1/6·x + 3^1/3

Luego:

(x³ - √3) = (x - 3^1/6)·(x² + 3^1/6·x + 3^1/3)

Hacemos lo mismo con (x³ + √3), que lo tendremos que dividir por una raíz conocida, (x + 3^1/6), quedando: (x² - 3^1/6·x + 3^1/3)

Uniendo todo queda que:

x⁶ - 3 = (x - 3^1/6)·(x² + 3^1/6·x + 3^1/3)·(x + 3^1/6)· (x² - 3^1/6·x + 3^1/3)

Por tanto las únicas raíces reales del polinomio son ± 3^1/6

(mas y menos raíz sexta de tres). Multiplicidad uno.

aah gracias, ahora lo hago y me fijo si me da.

me podras responder lo q te pregunte dsps de eso?

Resolver:

3x⁸ = 3x² ⇒

x⁸ = x² ⇒

x²·(x⁶ - 1) = 0

Una solución doble es x = 0 y las otras sale de (x⁶ - 1) = 0

Operando como en el ejercicio anterior:

(x⁶ - 1) = (x³ - 1)·(x³ + 1)

ya que √1 = ±1

Dividimos (x³ - 1) entre una raíz suya ( x = 1 ⇒ x-1=0)

(x³ - 1) = (x -1)·(x² + x + 1)

Hacemos los mismo con (x³ + 1) cuya raíz es x = -1:

(x³ + 1) = (x - 1)·(x² - x + 1)

Uniendo ambas descomposiciones:

(x⁶ - 1) = (x - 1)·(x + 1)·(x² + x + 1)·(x² - x + 1)

Los polinomios de segundo grado no tienen raíces reales, luego esa ecuación inicial tiene por solución:

x = 0 (doble)
x = 1 (simple)
x = -1 (simple)

P(x)= a·(x-2)²·(x-3)² con P(1)=3

P(1) = 3 = a·(1-2)²·(1-3)² = a·(1-2)·(1-2)·(1-3)·(1-3)

3 = a·(-1)²·(-2)² = a·1·4 = 4·a ⇒ a = 3/4

Luego el polinomio sería:

P(x) = ¾·(x-2)²·(x-3)²

listo che gracias


saludos


juAn