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Partiendo del seno y coseno de la suma de dos ángulos:

Para el seno:

sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a

sen (a - b) = sen (a + (-b)) = sen a cos (-b) + sen (-b) cos a = sen a cos b - sen b cos a

ya que cos (-b) = cos b y además sen (-b) = - sen b

De aquí se deduce el seno del ángulo doble, haciendo en la primera a=b:

sen 2a = sen (a + a) = 2 sen a cos a

Para el coseno:

cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

cos (a - b) = cos (a + (-b)) = cos a cos b - sen a sen (-b) = cos a cos b + sen a sen b

Haciendo a=b obtenemos el coseno del ángulo doble:

cos 2a = cos (a + a) = cos² a - sen² a

Para la tangente:

Para obtener la tangente se divide el seno por el coseno:

tg (a + b) = sen (a + b) / cos (a + b) = [sen a cos b + sen b cos a] / [cos a cos b - sen a sen b] =

Dividiendo numerador y denominador por cos a cos b, obtenemos:

= [tg a + tg b] /(1 - tg a tg b)

tg (a - b) = tg (a + (-b)) = [tg a - tg b] / (1 + tg a tg b)

ya que tg (-b) = - tg b

Para el ángulo doble hacemos a=b y obtenemos:

tg 2a = 2 tg a / (1 - tg² a)

seguirá ...

Partimos de que:

cos 2b = cos² b - sen² b 　　y de que:

1 = sen² b + cos² b

Sumando término a término...

1 + cos 2b = 2 cos² b

Despejamos cos² b:

cos² b = (1 + cos 2b) / 2

Hacemos el cambio a = 2·b quedando:

cos² (a/2) = (1 + cos a) / 2

cos (a/2) = √[(1 + cos a) / 2]


Si en vez de sumar las dos primeras ecuaciones, las restamos, obtenemos:

1 - cos 2b = 2 sen² b

sen² b = [1 - cos 2b] / 2

Hacemos el cambio a = 2·b quedando:

sen² (a/2) = (1 - cos a) / 2

sen (a/2) = √[(1 - cos a) / 2]

Para obtener la tangente se divide seno entre coseno:

tg² (a/2) = [1 - cos a] / [1 + cos a]

tg (a/2) = √([1 - cos a] / [1 + cos a])