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Mensaje 26 Abr 12, 21:14  26924 # 1



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PREU

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PREU 

Registro: 26 Abr 12, 21:00
Mensajes: 1
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Nivel Estudios: Preuniversitari@
País: España
Ciudad: Madrid
Género: Femenino

______________________
Hola, tengo un prblema con un ejercicio:
Me dan un plano ∏ y una recta r
∏:x+3y-z=1
r:(x+2)÷6=(y-1)÷2=z
Me piden la ecuación general del plano ∏' que contiene a r y es perpendicular a ∏
y que escriba las ecuaciones paramétricas de la recta que es intersección de los planos sacados antes.
Gracias de ante mano :)
          
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Mensaje 27 Abr 12, 09:01  26928 # 2


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Univérsitas Amig@

______________Detalles_
Univérsitas Amig@ 

Registro: 25 Nov 11, 04:06
Mensajes: 90
_____________Situación_

Nivel Estudios: Universitari@
País: Colombia
Ciudad: Bogota
Género: Masculino

______________________
El vector perpendicular al plano Π, son los coeficientes de x, y, z: (1, 3, -1)
El vector paralelo a la recta, son los denominadores:  (6, 2, 1). Como éstos dos vectores no son paralelos, hacemos el producto cruz que nos determina el vector perpendicular al plano Π':

(1, 3, -1)Χ(6, 2, 1)=(5, -7, -16)

Las ecuaciones paramétricas de la recta r: x=6λ-2, y=2λ+1, z=λ  
Para un valor particular de λ obtenemos un punto sobre la recta r: (xo, yo, zo), éste punto también debe pertenecer al plano Π'.

La ecuación del plano Π' :  (5, -7, -16) • (x-xo,y-yo, z-zo) = 0

Reemplazando por las ecuaciones paremétricas de la recta r:

(5, -7, -16) • (x-6λ+2, y-2λ-1, z-λ) =0    => 5 x - 7 y - 16 z = -17    Es la ecuación del plano Π'

El producto cruz de los vectores perpendiculares a los planos Π y Π' respectivos nos define el vector paralelo a la recta de intersección de los dos planos:

(1, 3, -1)Χ(5, -7, -16)=(-55, 11, -22)  => el vector requerido es: (5, -1, 2). Sólo falta encontrar algún punto que pertenezca a los dos planos, x+3y-z=1 ∧ 5x-7y-16z=-17  Eliminando z de estas ecuaciones queda: x+5y=3
Para x=3: y=0, z=2

Ecuacion de la recta de intersección de los dos planos: (x-3)/5 = y/-1 = (z-2)/2 = λ.

x=5λ+3, y=-λ, z=2λ+2  Son las ecuaciones paramétricas.

Un saludo.
          
       


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