Foros Ciencias Galilei

Os dejo otros tres problemas del selectivo, a ver si podeis ayudarme. Muchas gracias

1) Dada la recta r:      y=1
                              x-z+4= 0

a) Calcula la ecuación del plano β que pasa por el punto Q (0,2,2) y contiene a r. Calcula el área del triángulo que tiene por vértices los puntos de intersección de β con los ejes de coordenadas.
b) Calcula la ecuación general del plano que contiene a la recta r y es perpendicular al plano β.

2)Dada la recta r:   x  +  y +  z - 3 = 0
                          3x + 5y + 3z -7 = 0

a)Calcula la ecuación general del plano β perpendicular a r que pasa por el punto (2, -1,-2)
b) Calcula el punto Q en el cual r corta a β. Calcula el ángulo que forma el plano β con cada uno de los planos coordenados.

3) Dadas las rectas
     x= 3 -3λ
r:   y=    -4λ                                         
     z= -6

s:      4x - 3y -12 = 0
        5y - 4z - 4 = 0

a)Estudia su posición relativa. Si se cortan, calcula el punto de corte y el ángulo que forman r y s
b) Calcula, si existe, el plano que las contiene.

- Hola, Tibesti. Aquí va el 3º:

vr = (-3, -4, 0) → vr= (3, 4, 0)  (como solo me interesa la dirección, puedo cambiarle el sentido).

Necesitamos el vector director vs, para comparar su dirección con la de r y hacer unas primeras deducciones.
Como s está en fª de intersección de planos, vs = u x v  
Es decir, el vector director de s es el vector producto vectorial de los dos vectores normales de ambos planos:

vs =


Resuelto y simplificado es vs = (3, 4, 5)

Ahora comparamos los dos vectores directores vr y vs, componente a componente:

 3        4       0
---- = ---- ≠ ----    Los  vectores no son paralelos, luego las rectas r y s no son ni paralelas ni coincidentes
 3        4       5

Entonces, las rectas r y s o son secantes o se cruzan.

Comprobaremos si son secantes; si no es así, por último se cruzarán.

Para ello puedo comparar ambas rectas en paramétricas; esa forma nos viene bien.

Paramétricas de s: necesitamos su vector vs=(3, 4, 5) , y un punto de ella. Para esto último, como está en fª de intersección de dos planos:
 - Damos un solo valor arbitrario a una cualquiera de las incógnitas; por ej y=0 :

    s:    4x - 3y -12 = 0
           5y - 4z - 4 = 0      como y=0; queda:

         4x-12=0  => x = 3
         -4z-4=0  => z = -1    , luego un pto cualquiera de s es el P(3, 0, -1)  (puedes comprobar que verifica ambos planos componentes de s)

Luego s en paramétricas es:

x = 3 + 3μ
y = 4μ
z = -1 + 5μ

Ahora, con r y s en fª paramétrica, igualamos las coordenadas respectivas así:

Igualamos las x de r con las de s, así como las y y las z:

  3 -3λ = 3 + 3μ
   -4λ = 4μ                                        
   -6 = -1 + 5μ      Y queda un sistema de 3 ecs con 2 incógnitas. Si sale compatible determinado: secantes; si no, se cruzan.

La 3ª da  μ = -1
La 2ª:  -4λ = 4*(-1) => λ = 1
Y la 1ª debe verificar ambos valores:   3-3*1 = 3+3*(-1) => 0 = 0 , y lo admite, señal de sistema compatible determinado: Las rectas r y s se cortan en un punto.

Y el punto es:
Calculado mediante la recta r:

x = 3 -3λ => x = 3-3*1 = 0
y = -4λ = -4*1 = -4
z = -6

El pto de intersección es el I (0, -4 , -6)

Conviene hallar el pto también mediante la s, para comprobar:
x = 3 + 3μ = 3+3*(-1)=0
y = 4μ = 4*(-1) = -4
z = -1 + μ5 = -1+5*(-1)=-6

el mismo pto, así vamos más seguros.

Ángulo que forman r y s::

El ángulo de dos rectas es el que forman sus vectores directores; se cumple:

               vr · vs
cos β = ------------
            |vr| · |vs|

Con vr · vs = 3*3 +4*4 +0*5 = 9+16= 25
|vr| = √(3²+4²+0) = 5
|vs| = √(3²+4²+5²) = √50

                                  25
Sustituyendo: cos β = --------- = 5/√50 = √50/10 = √(1/2) = √2/2
                               5*√50

Así que cos β = √2/2 => β = arc cos √2/2 = 45º forman las rectas r y s.

Plano que contiene a las rectas r y s secantes.

Como son secantes, definen un plano.
Una forma de hallarlo es conociendo un vector normal (⊥) a ambas rectas y un punto cualquiera de ellas.

Como necesitamos un tercer vector perpendicular a otros dos: producto vectorial.
 vr x vs =
= 20 i - 15j + 0k, que simplificado es el  w = (4, -3, 0)

Luego el pano que contiene a r y s tiene la forma Π ≡ 4x - 3y + d = 0 ; son los ∞ planos || que pueden contener a ambas rectas.

Basta introducir ahora un punto cualquiera que pertenezca a cualquiera de las rectas, y ya contendrá a todo el sistema r,s:

Tomamos el pto I (0, -4 , -6), que tanto nos hemos trabajado  :)

Ahí va el I:  4*0 - 3*(-4) + d = 0 => 12 + d = 0 => d= -12; luego el plano que forman r y s es:

Π ≡ 4x - 3y - 12 = 0

Un plano y una recta perpendiculares tienen el mismo vector asociado (o proporcional). Ontendremos el vector director de la recta y se lo daremos al plano como su vector normal.

Cuando la recta viene en fª de intersección de dos planos, su vector director se puede hallar como el producto vectorial de los dos vectores normales de ambos planos:

vr =
(-2, 0, 2), que podemos simplificar al (-1 , 0 , 1)

La ecuación del plano tiene la forma  β≡ -x + z + d = 0 . Como debe pasar por el pto (2, -1,-2), debe aceptarlo:
-1*2 +0+ 1*(-2) + d = 0 => -4 + d = 0 => d = 4

Luego es β≡ -x + z + 4 = 0  

b) Calcula el punto Q en el cual r corta a β.
Llevamos la recta r a paramétricas. Conociendo su vector director, necesitamos ahora un punto de ella.
En sus ecuaciones conocidas, hacemos por ej x=0:

                        0  +  y +  z - 3 = 0
                        0 + 5y + 3z -7 = 0   y despejamos y , z:

Resolviendo el sistema tenemos el punto  P(0 , -1 , 4) de r.

Luego r en paramétricas es.

     x = -k
r:    y = -1
     z = 4+k        (k∈ℝ)

Escribimos r como coordenadas: r:(-k, -1, 4+k)

E introducimos esas coordenadas en el plano; si las acepta, nos dará el punto Q común de intersección  r∩β:            
    En  -x + z + 4 = 0   introducimos el pto
-(-k) + (4+k) + 4 = 0 => k = -4 , es la condición que impone el plano. Llevamos esta k a r en coordenadas:

   Q(4 , -1 , 0) es el pto de intersección r∩β.

Calcula el ángulo que forma el plano β con cada uno de los planos coordenados.
El ángulo que forman dos planos es el que forman sus vectores normales:

vβ = (-1, 0, 1)
Los planos coordenados YOZ , XOZ , XOY tienen como vectores normales respectivos los  i=(1,0,0) , j=(0,1,0), k=(0,0,1).
                               u · v
Aplicando     cos a = ---------      (en valor absoluto para asegurar el menor ángulo)
                             |u| · |v|

cos (β,YOZ) = (4,-1,0)(1,0,0)/√(16+1) = 4/√17 => ángulo (β,YOZ) = arc cos 4/√17 = 14,04º
cos (β,XOZ) = (4,-1,0)(0,1,0)/√(16+1) = -1/√17 => ángulo (β,YOZ) = arc cos +1/√17 = 75,96º
cos (β,XOY) = (4,-1,0)(0,0,1)/√(16+1) = 0 => ángulo (β,YOZ) = arc cos 0 = 90º

(se comprueba que los cuadrados de los cosenos directores suman 1)

¡Venga!

Muchas gracias etxeberri

De nada, Tibesti.

Va el 1º


Una manera de hallar el plano que contiene una recta y un pto dados es mediante el haz de planos de la recta:

escribimos ambos planos componentes de r igualados a 0:

r:
y-1=0           => y-1 + k (x-z+4) = 0  (un plano más el otro multiplicado  por  un parámetro, k∈ℝ)
x-z+4= 0

Operando y ordenando el haz de planos:  kx + y -kz + 4k -1 = 0  tiene forma de plano, aunque indefinido en k. Es el conjunto de todos los planos que pueden contener a r.
De todos ellos queremos Π que, además, contiene al pto Q (0,2,2).  Introducimos el pto en el haz:

    k*0 + 2 - k*2 + 4*k -1 = 0  => 2-2k+4k-1=0 => k = -1/2  

Volvemos al haz para particularizar con k = -1/2 :
 
  -1/2*x + y - (-1/2)*z +4*(-1/2) -1 = 0 => -1/2x + y +1/2*z -3 = 0 ; multiplico por 2 ambos miembros:

   β ≡ -x + 2y + z -6 = 0  es el plano que contiene a r y pasa por el pto Q.

Calcula el área del triángulo que tiene por vértices los puntos de intersección de β con los ejes de coordenadas..

hallamos primero los tres ptos de intersección con los ejes.

Cuando el plano corte al eje OX, lo hará en un punto del tipo (a,0,0), con coordenadas nulas en y y en z.
 En β hacemos y=0, z=0 y tenemos   -x + 0 + 0 - 6 = 0 => x = -6, luego el plano β corta al eje OX en el pto A (-6 , 0 , 0)

 β corta eje OY cuando x=0 , z=0 => 0 +2y + 0 -6=0 => y = 3, luego el plano β corta al eje OY en el pto B (0 , 3 , 0)

 β corta eje OZ cuando x=0 , y=0 => 0 +0 + z -6=0 => z = 6, luego el plano β corta al eje OZ en el pto C (0 , 0 , 6)

El par de vectores, por ejemplo, AB y AC definen el triángulo pedido. Es AB = B-A = (6, 3, 0)  y AC = (6, 0, 6), que NO podemos simplificar (aquí sí interesa el módulo de los vectores, en vez de sus direcciones).

El área de un triángulo definido por dos vectores u, v (coplanarios) es A = 1/2 |u| |v| sen α , es decir, 1/2 del módulo del vector producto vectorial de los dos vectores.

Calculamos | AB x AC |;    primero AB  x AC =
= (18, -36, -18) , que pide a gritos ser simplificado, pero NO podemos hacerlo. Si lo necesitáramos como director o como normal de plano, sí.

Por último, el área del triángulo ABC es la mitad de su módulo:  A = 1/2 * √(18²+36²+18²) => A = 22,05 uds²



Todos los planos que contienen a r están en el haz de planos hallado antes:
   kx + y -kz + 4k -1 = 0  , que tiene como vector normal v = (k, 1, -k)  , como siempre los coeficientes de x, y, z.

De todos los ∞ planos que pueden contener a r, queremos el ⊥ a β.
Dos planos perpendiculares tienen sus vectores normales también perpendiculares entre sí, así que los vectores  vβ = (-1, 2, 1)  y v = (k, 1, -k)  deben ser perpendiculares.
¿Como lo consigo? ¿con el producto vectorial? ¡No! El prod vectorial me da un tercer vector ⊥ a ambos.
Para que dos vectores sean ortogonales (⊥), deben tener producto escalar nulo:

  vβ · v = (-1, 2, 1) · (k, 1, -k) = 0 =>

=> -1*k +2*1 +1*(-k) = 0 => -2k +2 =0 => k=1

Así que de todo el haz queremos el plano   1*x + y - 1*z + 4*1 -1 = 0 =>
 => ∏≡ x +y -z + 3 = 0 , que contiene a r y es ortogonal a β.

Hale, venga.