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¡¡Holaaa chicos!! Tengo dudas con este par de ejercicios, por más que lo intento algo termina saliendo mal, y la verdad ya estoy muy confundida :(
Espero puedan ayudarme, me estoy preparando para mi examen. Así que desde ya, muchísimas gracias :D
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1) Sean los planos:

∏₁: 6x - 3y + z = 0
∏₂: 3x + 2y - 4 = 0

Determinar:

a) La ecuación cartesiana del plano ∏₃ que contiene al punto A(0, 7, -1) y que es simultáneamente perpendicular a los planos ∏₁ y ∏₂;

b) Unas ecuaciones paramétricas de la recta R de intersección del plano ∏₂ con el plano YZ;

c) El ángulo que forma el plano ∏₂ con el eje Z.

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2) Sean los segmentos de recta L₁, L₂, L₃ que se muestran en la figura:



a) Determinar la ecuación cartesiana de un plano que es paralelo al plano que contiene a L₁, L₂, L₃, y que dista de él 7 unidades.

b) Obtener la ecuación cartesiana del plano que contiene a L₂ y es perpendicular al plano YZ.

-Hola, Paulina:





Como el plano ∏3 debe ser perpendicular a los otros dos, el vector perpendicular v3 debe ser también ⊥ a los vectores v1 y v2. Es decir, busco un vector ⊥ a otros dos a la vez: producto vectorial de estos.

v3 = v1 x v2
Con v1 = (6,-3,1) ; v2 = (3,2,0)



  _            _           _                 _      _        _
= i  (0-2) - j (0-3) + k (12+9) = -2 i + 3 j + 21 k => v3 = (-2 , 3, 21) (es un vector normal a v2 y a v3)

Podemos ir armando la ecuación de Π3 con su vector perpendicular:

Π3: -2x + 3y + 21z + d = 0  ; ahora hallamos el término independiente d. Obligamos a Π3 a que tome el pto A(0 , 7, -1):

   -2*0 + 3*7 +21*(-1) + d = 0 => d = 0, luego el plano es:

  Π3: -2x + 3y + 21z = 0

Si dos elementos geométricos se cortan, la ecuación del lugar resultante es la solución del sistema:

Π2: 3x + 2y - 4 = 0
∏:  x = 0                    

[Los planos coordenados tienen ecuaciones muy sencillas: El yz solo exige que sus puntos valgan 0 en x ]

Sustituyendo x=0 en Π2:
  2y-4 = 0 => y = 2, ¿Y z? Pues z=λ (Haciendo Rouché con rigor se ve con más claridad).

                     x = 0
                  /
Luego es R =     y = 2           ( vector director (0,0,1), son los coefs de λ )
                  \  
                     z = λ

Π2: 3x+2y-4=0

El ángulo entre recta y plano es el complementario del que forman el director de r y el perpendicular de Π:

v_r = k = (0, 0, 1)

v_π = (3, 2, 0)

Ángulo entre dos vectores:
             |v_r · v_π|
cos β =  ----------
             |v_r| |v_π|

(coseno = valor absoluto del prod escalar dividido entre producto de módulos):

                  0*3 + 0*2 + 1*0
cos β = ---------------------------- =
           √(0²+0²+1²) · √(3²+2²+0²)

= 0  => β = arc cos 0 = 90º ; pero recordemos que el ángulo pedido es el complementario: α = 90-90= 0º entre el eje z y ∏2, luego Π2 es paralelo al eje z.
[No lo contiene porque el origen (0,0,0), que pertenece al eje, no verifica la ec del plano].

Venga.

Propongo este camino: Hallamos el vector perpendicular del plano π formado por L1, L2 y L3. Como veremos, no hace falta obtener la ecuación de π. Con ese vector podremos hallar la familia de planos paralelos a él, y por último impondremos (calcularemos) la distancia de 7 u entre dos planos paralelos.

Buscamos un tercer vector perpendicular a u y a v, con u=L3 y v=L1.

u = (0,0,2) - (1,0,0) = (-1, 0, 2) = u
v = (0,3,0) - (1,0,0) = (-1, 3, 0) = v

w = u x v   es el vector ⊥ de π formado por los tres segtos.

Vector w =

                                 
w = i (-6) - j (+2) + k (-3) =>           
   
=> w = -6 i + 2 j -3 k = (-6, 2, -3)

Así, la familia de planos paralelos a Π es: -6x + 2y -3z + d = 0

Para hallar d imponemos la distancia entre ambos planos: dist(Π,Π')= 7

La distancia entre dos planos paralelos se halla calculando la dist. de un punto cualquiera de uno de ellos al otro. Por ejemplo, el pto. (1, 0, 0) de Π:

        -6*1 +2*0 -3*0 + d
 7 = ---------------------- =
            √(6²+2²+3²)
 
            -6 + d
=> 7 =  ---------- => d = 55
                7

Luego el plano buscado es es Π': -6x + 2y -3z + 55 = 0

Ahora bien, habrá otra solución considerando el signo negativo de la raíz cuadrada:

       -6*1 + 2*0 - 3*0 + d                -6+d
7 = ------------------------ ==> 7  = ------- => d = -43, luego:
           - √(6²+2²+3²)                       -7

Π'': -6x + 2y -3z - 43 = 0   (paralelo por debajo de Π)


                                                        
El vector perpendicular del plano YZ es el  i=(1,0,0).

Si el plano pedido contiene a L2 y es perpendicular a YZ, su vector ⊥ debe serlo también a L2 y a i.
El vector correspondiente a L2 es el que va de (0,3,0) a (0,0,2) (o a la inversa):
L2 = (0-0, 0-3, 2-0) = (0, -3, 2)
                                      _
Entonces El vector w = L2 x i  es:



w = 0 i + 2 j + 3 k = (0, 2, 3) es el vector normal del plano buscado.

Ya tenemos la estructura  2y+3z+d=0 , ahora basta con hacerlo pasar por un punto cualquiera de L2, por ejemplo el  (0,0,2), y entonces pasará por tooodos los ptos de L2 siendo ⊥ a YZ:

2*0+3*2+d=0 =>

d = -6; y el plano será el 2y + 3z -6 = 0

Hale, venga.

       

Wow, muchas, pero muchísimas gracias por la ayuda y por tomarte el tiempo para hacerlo D: Y sobre todo gracias por una respuesta tan detallada a cada una de las preguntas, en serio. Ahora me pondré a estudiarlo y hacer más ejercicios para poder entenderlo completamente :D. Otra vez, mil gracias :DDDDD