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Sean P1={(2,0,4)+u(1,7,3)+v(-3,8,0)} y P2={(3,2,3)+s(4,-1,3)+t(9,5,9)} dos planos.
determinar distancia de P1 a P2 y si son o no paralelas

Enunciado:
Sean P1={(2,0,4)+u(1,7,3)+v(-3,8,0)} y P2={(3,2,3)+s(4,-1,3)+t(9,5,9)} dos planos.
determinar distancia de P1 a P2 y si son o no paralelas

Respuesta:
Para determinar la distancia de P1 a P2 lo primero que hay que hacer es responder a la segunda pregunta, es decir, si los planos son paralelos o no (si no lo fueran, difícilmente podríamos calcular distancia alguna entre los dos, pues terminarían por cortarse en algún lugar).

Para determinar si dos planos son paralelos, tenemos que ver sus vectores normales (perpendiculares) de cada uno y tienen que cumplir que sean paralelos.

Como tenemos los planos expresados en forma paramétrica, los vectores u y v de P1 y los vectores s y t de P2 son vectores directores de los respectivos planos. Para calcular un vector normal a ellos sólo tendríamos que usar el producto vectorial de vectores que nos hace precisamente eso, calcular un vector perpendicular a otros dos.

Recuerda que debes usar la notación matricial para obtener las coordenadas del vector normal mediante el cálculo de su determinante (es la primera vez que escribo matrices aquí y no sé exactamente cómo hacerlo. Lo intento como puedo)

i   j   k
1  7  3
-3  8 0

y por otro lado

i    j   k
4  -1  3
9   5  9

El cálculo de ambos determinantes da el mismo vector, -24i-9j+29k (como no podía ser de otra manera), por lo que deducimos que ambos planos son paralelos.

(Otra manera hubiera sido hallar la ecuación implícita de ambos planos y ver que sus A B y C son proporcionales (o iguales) y D es distinta)

Una vez que hemos demostrado lo que era obvio, para calcular la distancia de un plano a otro puedes seguir el siguiente proceso:
- calcular la ecuación implícita de uno de los planos.
- aplicar la fórmula que te permite calcular la distancia de un punto a un plano.

1- Calculo de la ecuación implícita de un plano partiendo de la paramétrica (utilizo los datos del plano P1):

x-2   y   z-4
1     7   3
-3    8    0

Este determinante tiene que estar igualado a 0, desarrollarlo y obtendrás una ecuación del tipo Ax + By + Cz + D =0

Ahora cogemos un punto del plano P2 (lo vemos en la paramétrica, 3,2,3) y le aplicamos la fórmula de la distancia de un punto (x₁, y₁, z₁) a un plano Ax + By + Cz + D =0

|A·x₁ + B·y₁ + C·z₁ + D|
-------------------------
√¯A² + B² + C²

Te dejo para que tú desarrolles el determinante y el cociente y así obtienes la distancia. Si no sabes hacerlo me lo dices y lo dejaré por aquí. (Por si no se ve claro, la suma del denominador es el radicando de una misma raiz cuadrada).