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Demostrar que si el vector d es igual a la suma de los vectores b y c, y si b es paralelo al vector a , entonces d es paralelo al vector a si y solo si c es paralelo a a.

- Tenemos d = b + c    y    b // a

Aparentemente, si imponemos que d sea también paralelo a a, b y d deben "plegarse" hasta coincidir, lo que solo sucede si también c coincide con ellos, haciéndose c paralelo a a. Los cuatro vectores coincidirán en dirección.

Analíticamente:
 Tenemos que a · b = |a||b| cos 0º = |a||b|, por el producto escalar de vectores.

 Partimos de d = b + c y multiplicamos ambos miembros por a

   d a = ( b + c ) a =>
 
   d a = b a + c a            Y desarrollando los productos escalares entran los demás datos:

   |d| |a| cos α = |b| |a| + |c| |a| cos β

  Simplificamos |a| :

  |d| cos α = |b| + |c| cos β

   cos α es el coseno del ángulo entre d y a; para que haya paralelismo entre ellos debe ser cos α = 1, ya que α=0º .

Entonces queda  |d| = |b| + |c| cos β
Sabemos que si b y d son paralelos a a, lo son entre sí. Si tienen que ser b, c, d lados de un "triángulo plano" con |d| = |b| + |c| , debe ser cos β = 1, con lo cual β = 0º necesariamente, lo que obliga a c a ser paralelo a a para que d pueda ser paralelo a a.

Venga.
(No consideramos la posibilidad cos β = -1 porque llevaría a c a valer 0. Igualmente cos α = -1 habría llevado a valores negativos para los módulos).