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Según conocemos, i²=-1 dado que √(-1) · √(-1) = -1

Ahora viene la duda. ¿Y si me lo planteo de esta manera?:
√(-1) · √(-1) = √[(-1)·(-1)] =

Dado que -1 · -1 = 1

√1 = 1, por lo que me daría que i²=1

¿Alguien me puede aclarar qué estoy haciendo mal?

-Hola, Pedrom.
He recabado información para poder responderte a esta interesante pregunta.

Primero, propongo la forma polar como indiscutible: i² = (1₉₀)² = 1²_(2*90) = 1₁₈₀ = -1

Si fuera i² = √-1·(-1) = 1, se acabaron los números complejos. No hay valor alguno cuyo cuadrado sea -1 (que es la definición de i).
 
El problema está en que √a · √b = √a · b  solo puede asegurarse si a y b son al menos uno de ellos positivo. Para el caso de a, b negativos se debe considerar que √a · √b = ± √a · b, sin distinción previa del signo. Esto viene de definir i como el número cuyo cuadrado vale -1, es decir, i = ±√-1 Ver Definición de Wolfram MathWorld

[Propongo este ejemplo muy grosso modo: En un problema hallas que el tiempo t= ±10 s. Si encuentras que t=-10 s, o lo rechazas o lo explicas. Si encuentras que i²=1, o lo rechazas o lo explicas.]


Según la Wikipedia en español http://es.wikipedia.org/wiki/Demostración_inválida :

 "i=√-1 en realidad  no es una definición correcta en el cuerpo de números complejos no reales. En el cuerpo de los números reales, la raíz de un número real positivo devuelve la raíz positiva, en cambio en el cuerpo de los complejos no puede definirse un orden, por lo que las raíces de − 1 son tanto i como − i sin preferencia por ninguna de las dos. Asi √-1 no está bien definido."

De todas maneras, en cualquier sitio serio se recomienda tomar √-1 inmediatamente como i, precisamente para evitar estas falsas paradojas.

More here:
    
    
Esto te gustará. Demuestran que 1=2 de varias maneras y debes encontrar el paso falso:
     

Venga.

Estimado Etxeberri:
Muchísimas gracias por tu detallada respuesta. Tu comentario es de los que hacen pensar y me encanta que me hagan pensar. Voy a estudiármelo con tranquilidad.