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Sea E el subespacio de ℝ⁴ generado por {(1,1,1,0), (3,-16,0,7),(4,-34,-2,14)}. Realizar un sistemas de ecuaciones implicitas de E.

(1,1,1,0), (3,-16,0,7),(4,-34,-2,14)

(x, y, z, w) = λ·(1,1,1,0) + μ·(3,-16,0,7) + γ·(4,-34,-2,14)

x = λ + 3μ + 4γ
y = λ - 16μ - 34γ
z = λ + 0μ -2γ
w = 0λ + 7μ + 14γ

Perdone las molestia. Pero me equivoque y eran las ecuaciones implicitas.

Entonces lo que tenemos es que eliminar parámetros. Es como si los parámetros fueran incognitas y las variables número conocidos. El sistema formado por los parámetros tiene que se compatible determinado, para lo cual al rango de la matriz de los coeficientes y ampliada debe de ser igual.
Como el Rango de coeficientes es 3 pues:



Como son 4 ecuaciones y 3 incognitas (parámetros), el nº de ecuaciones implícitas es 1. Resuelve el determinante y lo igualas a cero. Esa en la ecuación implícita.

Pero el rango de los coeficientes no seria 3.

Exacto (ya está cambiado), por eso el deternimante de 4x4 tiene que ser cero, para que tenga rango 3, también.