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Mensaje 18 Nov 09, 01:03  14877 # 1



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Buenas, gracias por la respuesta del ejercicio de cambio de bases, te dejo un ejercicio con varios apartados tipo test para el examen:
1)    ¿Es L({4 Log x,cos x}) un subespacio vectorial de C[1,Pi] de dimensión infinita?
  i) Sí,ya que la dimensión de C[0,Pi] es infinita.
  ii) Sí, ya que Pi es número irracional.
  iii) No, porque 0∉ L({4 Log x,cos x})
  iv) No, y de hecho su dimensión es 2.


2)  ¿Es cierto que las coordenadas de la matriz [(1,2),(1,2)]
        {[(1,1)(1,1)], [(2,2),(2,0)] ,[(-3,-3),(0,0)] ,[(4,0),(0,0)]}
son (1,2,1,2)?
 i) Sí, las coordenadas de una matriz en una base siempre se obtienen colocando consecutivamente sus filas en un vector.
 ii) No, porque las coordenadas de una matriz de orden 2 son otra matriz de orden 2.
 iii) No.

3) ¿Podemos asegurar que si Gb es la matriz de Gram del producto escalar usual en ℝn, entonces Gb es simétrica si, y sólo si, B es la base canónica.

 i) Sí, la base canónica es la única con esa propiedad.
 ii) No, toda matriz de Gram asociada a una base de un espacio vectorial euclídeo cualquiera de dimensión finita es simétrica
 iii)Ninguna de las respuestas anteriores.

4) ¿Es cierto que la proyección ortogonal del vector (1,2,3,4) sobre el subespacio vectorial ℝ4
Y=L({(2,-1,0,0),(3,0.5,33,-4)}) es (1,2,0,1)?

 i) Sí, ya que (1,2,0,1) ∈Y⊥
 ii) No, pues (1,2,0,1)∉Y
 iii) Ninguna de las anteriores.

5) ¿Podremos asegurar que el método de factorizacion LU es aplicable a cualquier S.E.L?
  i) Sólo cuando la matriz de coeficientes sea diagonalmente estricatamente dominante.

  ii) Sí, es independiente del número de ecuaciones e incógnits.
  iii) Siempre que la matriz de coeficientes tengo el rango máximo.
  iv) Ninguna de las anteriores.

6) Sea A una matriz cuadrada. ¿ Es cierto que traza(A2)=(traza(A))2?
  i) Sí, porque en general, si X e Y son matrices cuadradas del mismo orden, entonces traza (XY)=traza(X) traza(Y).

  ii) No, basta considerar como contraejemplo A=I
  iii) Ningua de las respuestas anteriores.
          
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Mensaje 20 Nov 09, 22:50  14905 # 2


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2)  ¿Es cierto que las coordenadas de la matriz [(1,2),(1,2)]
       {[(1,1)(1,1)], [(2,2),(2,0)] ,[(-3,-3),(0,0)] ,[(4,0),(0,0)]}
son (1,2,1,2)?
i) Sí, las coordenadas de una matriz en una base siempre se obtienen colocando consecutivamente sus filas en un vector.
ii) No, porque las coordenadas de una matriz de orden 2 son otra matriz de orden 2.
iii) No.



Voy a hacerte los que estoy más o menos seguro de que está bien.

Si las coordenadas de ese vector (matriz) fuesen (1,2,1,2), al multiplicar la primera matriz de la base por 1, la siguiente por 2, la tercera por 1 y la última por 2 te debería dar la matriz dada, cosa que que no ocurre. La respuestas i) e ii) son falsas.


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Mensaje 20 Nov 09, 23:06  14906 # 3


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6) Sea A una matriz cuadrada. ¿ Es cierto que traza(A2)=(traza(A))2?

 i) Sí, porque en general, si X e Y son matrices cuadradas del mismo orden, entonces
traza (XY)=traza(X) traza(Y).
 ii) No, basta considerar como contraejemplo A=I
 iii) Ningua de las respuestas anteriores.



Se puede buscar un contraejemplo pero no vale lo de A=I porque en este caso sí lo cumple:


Imagen

Aquí se ve que la traza de A es 1 que al cuadrado es 1
La traza de A² es 3, son distintas.

Propiedades de la Traza de una matriz cuadrada (mty.itesm.mx)


ImagenImagen
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Mensaje 20 Nov 09, 23:15  14907 # 4


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4) ¿Es cierto que la proyección ortogonal del vector (1,2,3,4) sobre el subespacio vectorial ℝ4
Y = L({(2,-1,0,0),(3,0.5,33,-4)}) es (1,2,0,1)?

 i) Sí, ya que (1,2,0,1) ∈Y⊥
 ii) No, pues (1,2,0,1)∉Y
 iii) Ninguna de las anteriores.



La respuesta correcta es la ii) ya que rl sistema formado por λ y μ siguiente no tiene solución:

(1,2,0,1) = λ·(2,-1,0,0) + μ·(3,0.5,33,-4)

Luego el vector (1,2,0,1) ∉ Y


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